Toán 9 – Bất đẳng thức là gì? Cách chứng minh bất đẳng thức

Bất đẳng thức là gì?

Bất đẳng thức là các hệ thức a < b (hay a > b,  a ≤ b, a ≥ b) trong đó a được gọi là vế trái, b được gọi là vế phải của bất đẳng thức.

Như vậy, bất đẳng thức khác một đẳng thức (a = b) ở chỗ thay dấu bằng bởi dấu <, >, ≤ hoặc ≥.

≥ : dấu lớn hơn hoặc bằng

≤ : dấu nhỏ hơn hoặc bằng

Các kết quả về thứ tự trong tập hợp số thực

1. Tổng của hai số thực dương là số thực dương.

2. Tổng của hai số thực âm là số thực âm.

3. Với hai số thực a, b, ta có:
ab > 0 khi a, b cùng dấu (cùng âm hoặc cùng dương)
ab < 0 khi a, b trái dấu 

4. Với mọi số thực a, ta có: a² ≥ 0 

a² = 0 khi và chỉ khi a = 0.

5. Với a, b là hai số thực dương, nếu a > b thì √a > √b và ngược lại.

Các tính chất của bất đẳng thức

+Cộng với số thực:

Nếu a > b thì a + c > b + c với mọi c ∈ R.

+Nhân với số thực dương: (giữ nguyên dấu bất đẳng thức)

Nếu a > b thì ac > bc với c > 0.

+Nhân với số thực âm: (đổi dấu bất đẳng thức)

Nếu a > b thì ac < bc với c < 0. 

+Tính bắc cầu: 

Nếu a > b và b > c thì a > c.

Ta sẽ vận dụng cả quy tắc chuyển vế đổi dấu giống trong đẳng thức để biến đổi bất đẳng thức.

Các tính chất vẫn đúng với các bất đẳng thức có dấu <, ≥, ≤.

Một số cách chứng minh bất đẳng thức thường dùng

# 1: Chứng minh bằng cách xét hiệu vế trái và vế phải

Ví dụ ta cần phải chứng minh a > b, ta có thể chứng minh a – b > 0.

Như vậy là ta sẽ xét hiệu a – b (lấy vế trái trừ vế phải).

Ví dụ 1. Chứng minh:

Giải:

a) Xét hiệu 3(b – 1) – 3(a – 1) = 3b – 3 – 3a + 3 = 3b – 3a = 3(b – a)

Mà ta có a < b nên b – a > 0 hay 3(b – a) > 0.

Vậy 3(b – 1) – 3(a – 1) > 0 nên ta có 3(b – 1) > 3(a – 1).

b) Xét (3 – 2m) – (4 – 3n) = 3 – 2m – 4 + 3n = -2m + 3n – 1

Mà 2m > 3n nên 3n – 2m < 0 vì thế 3n – 2m – 1 < -1 < 0.

Vậy (3 – 2m) – (4 – 3n) < 0 nên ta có: 3 – 2m < 4 – 3n

#2: Chứng minh dựa vào các tính chất của bất đẳng thức

Ví dụ 2. Chứng minh

Giải:

a) Ta có 2025 > 2024 nên suy ra

√2025 > √2024

do đó √2025 – √5 > √2024 – √5.

b) Ta có:

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Cho a ≥ 2b. Chứng minh:

a) 2a + 7 > a + 2b + 7 

b) 4b + 4a ≤ 5a + 2b

Bài 2. Chứng minh:

Những ví dụ trên là các bài tập chứng minh các bất đẳng thức đơn giản dựa vào biến đổi biểu thức và tính chất.

Sau đây là các bài chứng minh bất đẳng thức ở mức độ khó hơn.

Ví dụ 3.

Cho a và b là hai số dương, chứng minh:

Giải:

a) Xét hiệu:

Với a, b > 0 nên ta có: (a – b)² ≥ 0 , ab > 0 suy ra

Do đó:

Hay

b) Xét hiệu:

Với a, b > 0 ta có: (a – b)² ≥ 0 và a + b > 0.

Suy ra (a + b)(a – b)² ≥ 0.

Vì vậy a³ + b³ ≥ a²b + ab².

c) Xét hiệu:

Với a, b > 0 ta có: (a – b)² ≥ 0, ab > 0 và a + b > 0.

Do đó, ta có:

d) Xét hiệu:

Mà a < b nên b – a > 0 và ab > 0 (do a, b > 0). Suy ra:

Vậy

Dạng tiếp theo ta sẽ sử dụng hằng đẳng thức thường gặp để chứng minh.

#3. Sử dụng hằng đẳng thức đáng nhớ để chứng minh

Ví dụ 4.

Với mọi x, y, z chứng minh rằng:

Giải:

a) x² + y² + z² ≥ xy + yz + zx

suy ra 2x² + 2y² + 2z² ≥  2xy + 2yz + 2zx

Xét hiệu 2x² + 2y² + 2z² – 2xy – 2yz – 2zx

= x² – 2xy + y² + y² – 2yz + z² + z² – zx + x²

= (x – y)² + (y – z)² + (z – x)² ≥ 0.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi (x – y)² = 0, (y – z)² = 0 và (z – x)² = 0

khi và chỉ khi x = y = z.

b) Xét hiệu:

x² + y² + z² – 2xy – 2yz + 2xz 

= x² – 2xy + y² – 2yz + 2zx + z² 

= (x – y)² + 2z(x – y) + z² 

=(x – y + z)² ≥ 0 với mọi x, y, z.

Dấu bằng xảy ra khi và chỉ khi x – y + z = 0 hay y = x + z.

c) Xét hiệu:

x² + y² + z² + 3 – 2(x + y + z) 

= x² – 2x + 1 + y² – 2y + 1 + z² – 2z + 1

= (x – 1)² + (y – 1)² + (z – 1)² ≥ 0 với mọi x, y, z.

Dấu bằng xảy ra khi x = y = z = 1.

Bài tập vận dụng:

Bài 1. Với mọi a, b, chứng minh rằng:

Bài 2. Với mọi a, b, c, chứng minh rằng:

Xem thêm:

Toán 9 để học các nội dung khác

Tham khảo tài liệu và đề thi Toán THCS tại đây.