Cách giải phương trình bậc hai một ẩn – Toán lớp 9

by Dung Nguyễn Thùy | category Học Toán 9 | Không có bình luận

Giải phương trình bậc hai một ẩn là một trong cách kĩ năng cơ bản và quan trọng của Toán 9 để ôn thi Toán vào lớp 10. Ở bài viết này, bạn sẽ học được

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn theo công thức tính nghiệm
Cách nhẩm nghiệm phương trình bậc hai nhanh nhất.

giải phương trình bậc hai một ẩn Toán lớp 9

Trước khi học cách giải phương trình bậc hai một ẩn, ta cùng đến với định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn.

Mục lục

Phương trình bậc hai một ẩn là gì?

Đường cong parabol do phương trình bậc hai một ẩn tạo ra
Ảnh: https://www.mathsisfun.com/algebra/quadratic-equation.html

Các phương trình bậc hai một ẩn tạo nên những đường cong đẹp như trên.

Định nghĩa phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

$\dpi{100} \large ax^2+bx+c=0(a\neq 0)$

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước.

Ví dụ về phương trình bậc hai một ẩn:

Sau đây là 1 số ví dụ.

a) 2x² + 5x + 3 = 0

Trong phương trình này: hệ số a = 2, b = 5, c = 3. Đây là phương trình bậc hai một ẩn.

b) x² – 3x = 0

Phương trình hơi khác chút:
+ Hệ số đâu nhỉ? a = 1 và ta không cần viết “1.x²“
+ Hệ số b = − 3
+ Và c bằng mấy? c = 0 nên không cần viết.

Phương trình trên là phương trình bậc hai một ẩn.

c) − x² = 0

Các hệ số a = − 1, b = c = 0. Đây là phương trình bậc hai một ẩn.

d) 5x − 3 = 0

OH! Đây không phải phương trình bậc hai, không có x² hay nói cách khác hệ số a = 0.

Như vậy để xác định một phương trình có phải là phương trình bậc hai hay không, ta cần xem dạng của nó có giống dạng

hay không.

Luyện tập

Bài tập: Trong các phương trình dưới đây, phương trình bậc hai một ẩn?

a) $x^2-4=0$

b) $x^3+4x^2-2=0$

c) $2x^2=4$

d) $x^4-4x^2+3=0$

e) $3x-4=0$

f) $-4x+5=x^2$

Giải: Các phương trình bậc hai một ẩn là: a, c, f.

Ngoài ra, ta có:

Phương trình e là phương trình bậc nhất.
Phương trình b là phương trình bậc ba.
Phương trình d là phương trình bậc bốn.

Như ta vừa thấy, dạng của phương trình bậc hai là

giải phương trình bậc hai toán 9 — Dạng chuẩn của phương trình bậc hai một ẩn
Ẩn là x và a, b, c là hệ số cho trước, a khác 0.

Nhưng thỉnh thoảng ta gặp một số phương trình bậc hai một ẩn không giống như vậy.

Ví dụ:

a) x² = 2x – 1

Chuyển các hạng tử từ vế phải sang trái ( nhớ chuyển vế phải đổi dấu)

Ta được dạng chuẩn là: x² −2x + 1 = 0.

Phương trình có ẩn x và các hệ số a = 1, b = −2, c = 1.

b) 2(y² − 2y) = 5

Ta nhân phá ngoặc rồi chuyển 5 sang vế trái.

Ta được dạng chuẩn là: 2y² − 4y − 5= 0.

Phương trình có ẩn y và các hệ số a = 2, b = −4, c = -5.

c) z(z − 1) = 3

Ta nhân phá ngoặc rồi chuyển 3 sang vế trái.

Ta được dạng chuẩn là: z² − z − 3 = 0.

Phương trình có ẩn z và các hệ số a = 1, b = −1, c = −3 .

Việc đưa phương trình bậc hai về dạng chuẩn chuẩn khá quan trọng, nó giúp bạn giải phương trình bậc hai dễ dàng hơn. Vì vậy bạn chú ý phần này nhé!

Cách giải phương trình bậc hai một ẩn

Muốn giải phương trình bậc hai, việc trước tiên hãy xem phương trình đã ở dạng chuẩn chưa. Nếu chưa, hãy đưa nó về dạng chuẩn.

Phương trình bậc hai có nhiều nhất là hai nghiệm.

(2 điểm đỏ trên hình có hoành độ là hai nghiệm của một phương trình bậc hai một ẩn)

Và ta có nhiều cách để giải phương trình bậc hai.

Cách 1: Phân tích vế trái của phương trình thành nhân tử

Ví dụ:

x² − 3x − 4 = 0

⇔ x² + x − 4x − 4 = 0

⇔ x(x+1) − 4(x − 4) = 0

⇔ (x + 1)(x − 4) = 0

⇔ x = −1 hoặc x = 4.

Cách 2: Tạo ra bình phương bằng cách thêm bớt

Ví dụ: x² + 4x − 5 = 0

⇔ x² + 2.2.x + 2² − 9 = 0 ( vì 5 = 4 − 9)

⇔ (x + 2)² = 9

⇔ x + 2 = − 3 hoặc x + 2 = 3

⇔ x = − 5 hoặc x = 1.

Những cách trên không phải áp dụng được cho tất cả các phương trình.

VẬY, có cách nào giúp ta giải phương trình bậc hai bất kì hay không?

Câu trả lời là CÓ cách sau đây:

Cách 3: Áp dụng công thức nghiệm.

Ta có công thức nghiệm tổng quát để giải phương trình bậc hai bất kì. Chi tiết như sau.

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

Bước 1: Tính Δ = b² − 4ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ.

Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Thay các hệ số a, b, c vào công thức rồi tính là xong.

Ví dụ 1: Giải phương trình bậc hai sau:

3x² + 5x − 1 = 0

Ta có: a = 3, b = 5, c = − 1.

Δ’ = b² − ac = 5² − 4.3.(− 1) = 25 + 12 = 37 > 0.

⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Chú ý:

Nếu a và c trái dấu (a.c < 0) thì Δ = b² − 4ac > 0.

⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Nếu trong trường hợp b là số chẵn thì ta có thể đặt b = 2b’ và áp dụng công thức sau để giải phương trình bậc hai.

Công thức nghiệm RÚT GỌN

Bước 1: Tính Δ’ = b’² − ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ’.

Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

công thức nghiệm rút gọn giải phương trình bậc hai một ẩn

Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau).

công thức nghiệm kép rút gọn giải phương trình bậc hai một ẩn

Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Ví dụ 2: Giải phương trình bậc hai sau:

5x² + 4x − 1 = 0

Giải: Ta có: a = 5, b’ = 2, c = − 1.

Δ’ = b’² − ac = 2² − 5.(− 1) = 9 > 0.

⇒ phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Bài tập áp dụng

Sau đây, chúng ta cùng áp dụng các công thức nghiệm trên để giải các bài tập sau đây.

Bài 15 (T45 – SGK Toán 9 tập 2)

Không giải phương trình, hãy xác định các hệ số a, b, c, tính biệt thức Δ và xác định số nghiệm của mỗi phương trình sau:

bài 15 giải phương trình bậc hai - toán 9 tập 2

Hướng dẫn giải:

a) 7x² – 2x + 3 = 0

Có: a = 7; b = – 2; c = 3; Δ = b² – 4ac = (–2)²– 4.7.3 = – 80 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

b) 5x² + 2√10x + 2 = 0

Có: a = 5; b = 2√10; c = 2; Δ = b² – 4ac = (2√10)² – 4.2.5 = 0

Vậy phương trình có nghiệm kép.

c) Phương trình bậc hai

Giải bài 15 trang 45 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

d) Phương trình bậc hai 1,7x² – 1,2x – 2,1 = 0

Có: a = 1,7; b = – 1,2; c = – 2,1; Δ = b² – 4ac = (–1,2)² – 4.1,7.(–2,1) = 15,72 > 0

Vậy phương trình có hai nghiệm phân biệt.

Bài 16 (T45 – SGK Toán 9 tập 2)

Dùng công thức nghiệm của phương trình bậc hai để giải các phương trình sau:

Hướng dẫn giải:

a) Phương trình bậc hai 2x² – 7x + 3 = 0

Có: a = 2; b = -7; c = 3; Δ = b² – 4ac = (-7)² – 4.2.3 = 25 > 0

Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Giải bài 16 trang 45 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9 - giải phương trình bậc hai

Vậy phương trình có hai nghiệm là 3 và 1/2.

b) Phương trình bậc hai 6x² + x + 5 = 0

Có a = 6; b = 1; c = 5; Δ = b² – 4ac = 1² – 4.5.6 = -119 < 0

Vậy phương trình vô nghiệm.

c) Phương trình bậc hai 6x² + x – 5 = 0

Có a = 6; b = 1; c = -5; Δ = b² – 4ac = 1² – 4.6.(-5) = 121 > 0

Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và 5/6.

d) Phương trình bậc hai 3x² + 5x + 2 = 0

Có a = 3; b = 5; c = 2; Δ = b² – 4ac = 5² – 4.3.2 = 1 > 0

Áp dụng công thức nghiệm, phương trình có hai nghiệm phân biệt là:

Giải bài 16 trang 45 SGK Toán 9 Tập 2 | Giải toán lớp 9

Vậy phương trình có hai nghiệm là -1 và -2/3.

e) Phương trình bậc hai y² – 8y + 16 = 0

Có a = 1; b = -8; c = 16; Δ = b² – 4ac = (-8)² – 4.1.16 = 0.

Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép :

Vậy phương trình có nghiệm kép y = 4.

f) Phương trình bậc hai 16z² + 24z + 9 = 0

Có a = 16; b = 24; c = 9; Δ = b² – 4ac = 24² – 4.16.9 = 0

Áp dụng công thức nghiệm ta có phương trình có nghiệm kép:

Vậy phương trình có nghiệm kép – 3/4.

Giải phương trình bậc hai không khó nếu bạn thuộc công thức nghiệm và đưa phương trình về dạng chuẩn của phương trình bậc hai.

Ngoài ra, ta còn có thể nhẩm ra nghiệm của một số phương trình đặc biệt.

Cách nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai

Áp dụng hệ thức Vi-et, ta có:

giải phương trình bậc hai|nhẩm nghiệm | toán 9 — Cách nhẩm nghiệm để giải phương trình bậc hai

Ví dụ 1: Nhẩm nghiệm của phương trình

a) – 5x² + 3x + 2 = 0

Giải: Ta có: – 5 + 3 + 2 = 0 ⇒ phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = – 2/5.

b) 2004x² + 2005x + 1 = 0

Giải: Ta có: 2004 – 2005 + 1 = 0⇒ phương trình có nghiệm x = –1 hoặc x = – 1/2004.

Theo hệ thức Vi-ét:

giải phương trình bậc hai nhẩm nghiệm theo viet

Đảo lại,

giải phương trình bậc hai |toán 9 nhẩm nghiệm

Vì vậy, ta có thể nhẩm nghiệm dựa vào việc tìm hai số biết tích và tổng của chúng.

Ví dụ 2: Nhẩm nghiệm của phương trình

x² – 5x + 6 = 0

Giải: Vì 2 + 3 = 5 và 2.3 = 6 nên x = 2 hoặc x = 3 là nghiệm của phương trình trên.

Bài tập áp dụng

Bài 1: Giải phương trình bậc hai sau:

a) 35x² – 37x + 2 = 0

Giải: Vì 35 + (– 37) + 2 = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = 2/35.

b) 7x² + 500x – 507 = 0

Giải: Vì 7 + 500 + (– 507) = 0 nên phương trình có nghiệm x = 1 hoặc x = – 507 /7.

c) x² – 49x – 50 = 0

Giải: Vì 1 – (– 49) – 50 = 0 nên phương trình có nghiệm x = – 1 hoặc x = 50.

Nhận xét:

Bài tập trên yêu cầu giải phương trình bậc hai mà các hệ số thoả mãn a + b + c = 0 hoặc thoả mãn a – b + c = 0 nên ta nhẩm được nghiệm dễ dàng.

Bài 2: Giải phương trình bậc hai sau:

a) x² – 7x + 12 = 0

Giải: Vì 3 + 4 = 7 và 3.4 = 12 nên phương trình có nghiệm là: x = 3 hoặc x = 4.

b) x² + 7x + 12 = 0

Giải: Vì (–3) + (– 4 ) = –7 và (–3).(–4) = 12 nên phương trình có nghiệm là:

x = – 3 hoặc x = – 4.

Nhận xét:

Bài tập trên yêu cầu giải phương trình bậc hai mà S² – 4P ≥ 0 nên ta nhẩm được nghiệm dễ dàng bằng cách tìm ra hai số có tổng = S, tích = P.

Cuối cùng, bạn càng luyện tập giải phương trình nhiều, bạn càng giải nhanh và chính xác.

Hãy cùng luyện giải phương trình bậc hai áp dụng những điều bạn vừa học ở trên nào!

Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Càng thực hành giải phương trình bậc hai nhiều, bạn sẽ càng nhớ công thức vận dụng và các kĩ năng cần thiết để tìm ra kết quả nhanh nhất và chính xác nhất. Tuy nhiên trong quá trình học bạn sẽ gặp nhiều phương trình có thể đưa về phương trình bậc hai để giải.

Sau đây chúng ta hãy cùng đến với phương pháp giải và các ví dụ về giải các phương trình có thể quy về phương trình bậc hai nhé!

Các phương pháp giải phương trình quy về phương trình bậc hai:

Cách 1: Ta có thể đưa về phương trình tích

Ví dụ 1:

Giải phương trình:

x³ + 3x² + 2x = 0.

Giải:

x³ + 3x² + 2x = 0

⇔ x(x² + 3x + 2) = 0

⇔ x = 0 hoặc x² + 3x + 2 = 0

Ta giải phương trình bậc hai: x² + 3x + 2 = 0

Ta nhận thấy a − b + c = 1 − 3 + 2 = 0 nên phương trình có hai nghiệm là: x = −1 hoặc x = −2.

Vậy phương trình đã cho có tập nghiệm : S = { −2; −1; 0}

Ví dụ 2: Giải phương trình:

$x^3+2x^2+2\sqrt{2}x+2\sqrt{2}=0$

Giải:

Ta chú ý phân tích đa thức vế trái thành nhân tử:

$x^3+ 2x(x+\sqrt{2})+\sqrt{2^3}=0$

$\Leftrightarrow (x^3+\sqrt{2^3})+2x(x+\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{2})(x^2-x\sqrt{2}+2)+2x(x+\sqrt{2})=0$

$\Leftrightarrow (x+\sqrt{2})\left [ x^2+(2-\sqrt{2})x+2) \right]=0$

Khi đó, ta có trường hợp 1:

$x+\sqrt{2}=0\Leftrightarrow x=-\sqrt{2}.$

Trường hợp 2:

$x^2+(2-\sqrt{2})x+2=0$

Giải phương trình bậc hai trên, ta có: Δ < 0 nên phương trình bậc hai trên vô nghiệm.

Vậy phương trình đã cho có 1 nghiệm duy nhất là x = −√2.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ 1: Giải phương trình trùng phương

Giải phương trình:

$4x^4-3x^2-1=0$

Giải:

Ta có thể đưa phương trình bậc 4 đã cho về phương trình bậc hai để giải bằng cách đặt x² = t ≥ 0.

Ta thu được phương trình bậc hai 4t² −3t − 1 = 0.

Đến đây ta chỉ cần giải phương trình bậc hai để tìm t thoả mãn điều kiện t ≥ 0 rồi tìm x theo t tìm được.

Vì 4 − 3 − 1 = 0 ( a + b + c = 0) nên ta có hai nghiệm: t = 1 hoặc t = −1/4 < 0 (loại)

Do đó x² = 1 ⇒ x = ±1.

Ví dụ 2:

Giải phương trình:

$3x-2\sqrt{6x}+2=0$

Giải:

Điều kiện x ≥ 0.

Đặt √x = t ≥ 0 ⇒ x = t².

Ta được phương trình bậc hai: 3t² − 2√6 + 2 = 0

Giải phương trình bậc hai trên để tìm nghiệm t thoả mãn t ≥ 0 rồi thay t vào tìm x.

Δ’ = (√6)² − 6 = 0.

Phương trình có nghiệm kép: t = √6/3 (thoả mãn) nên ta suy ra:

x = t² = 2/3 (thoả mãn điều kiện).

Vậy phương trình đã cho có nghiệm x = 2/3.

Phương trình chứa ẩn ở mẫu thức

Ví dụ:

Giải phương trình:

$\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$

Giải:

Điều kiện: x ≠ ±3.

Ta khử mẫu và biến đổi như sau:

$\frac{x^2-3x+6}{x^2-9}=\frac{1}{x-3}$

$\Leftrightarrow \frac{x^2-3x+6}{(x-3)(x+3)}=\frac{x+3}{(x-3)(x+3)}$

$\Leftrightarrow x^2-3x+6=x+3$

⇔ x² − 4x + 3 = 0.

Giải phương trình bậc hai trên, ta được hai nghiệm:

x = 1 (thoả mãn điều kiện) hoặc x = 3 (không thoả mãn điều kiện).

Vậy nghiệm của phương trình đã cho là x = 1.

Giải hệ phương trình quy về giải phương trình bậc hai

Ngoài ra, còn có thể giải hệ phương trình bằng cách sử dụng phương pháp thế để thu được phương trình bậc hai. Ta có thể làm ví dụ sau:

Ví dụ: Giải hệ phương trình:

$\begin{cases} x - y=5 & (1) \\ xy=24& (2) \end{cases}$

Giải:

Ta rút x từ phương trình (1) : x = 5 + y (3)

Ta thế x = 5 + y vào phương trình (2) thu được:

(5 + y).y = 24 ⇔ y² + 5y − 24 = 0.

Giải phương trình bậc hai này ta được y = 3 hoặc y = −8.

Với y = 3 thì x = 3 + 5 = 8.

Với y = −8 thì x = −8 + 5 = −3.

Do đó hệ phương trình đã cho có hai nghiệm là (8; 3) ; ( −3; −8).

KẾT LUẬN

Để giải phương trình bậc hai một ẩn, bạn có thể làm những cách sau:

Phân tích đa thức thành nhân tử
Tạo ra bình phương của tổng hoặc hiệu
Áp dụng công thức nghiệm tổng quát hoặc rút gọn
Nhẩm nghiệm

Tuỳ từng trường hợp mà bạn áp dụng cho hợp lý và hiệu quả nhé.

Nếu phương trình bậc hai mà c = 0, ta hoàn toàn phân tích đa thức thành nhân tử được bằng cách đặt x làm nhân tử chung.
Để giải phương trình bậc hai mà bạn thấy có điều đặc biệt như a + b + c = 0 hoặc a – b + c = 0 thì nhẩm nghiệm sẽ là nhanh nhất.
Còn nếu giải phương trình bậc hai không đặc biệt như trên thì áp dụng công thức nghiệm là tốt nhất.

Các lỗi bạn hay gặp phải thường là thay số sai vào công thức, nhớ công thức sai.

Vì vậy, bạn nên viết và đọc công thức nhiều lần để nhớ chính xác và thay số đúng.

CÔNG THỨC NGHIỆM TỔNG QUÁT

Bước 1: Tính Δ = b² − 4ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ.

Nếu Δ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu Δ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau)

Nếu Δ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Công thức nghiệm RÚT GỌN

Bước 1: Tính Δ’ = b’² − ac.

Bước 2: Xét dấu của Δ’.

Nếu Δ’ > 0 thì phương trình có hai nghiệm phân biệt:

Nếu Δ’ = 0 thì phương trình có nghiệm kép (hai nghiệm trùng nhau).

Nếu Δ’ < 0 thì phương trình vô nghiệm.

Vậy là tôi đã hướng dẫn xong cho bạn cách giải phương trình bậc hai một ẩn.

Đây là kiến thức và kĩ năng cơ bản của Toán 9.

Hi vọng bạn sẽ nắm được và áp dụng hiệu quả để giải các phương trình quy về phương trình bậc hai.

Nếu có thắc mắc đừng ngại comment bên dưới để nhận giải đáp.

Chúc bạn học tốt!

Dung Nguyễn Thuỳ

Có thể bạn cần xem thêm:

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.