Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

by Dung Nguyễn Thùy | category Học Toán 9 | 1 bình luận

Để rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai, ta cần áp dụng linh hoạt và phù hợp các kiến thức cơ bản sau:

Căn thức bậc hai và cách sử dụng hằng đẳng thức
Cách khai phương một tích, khai phương một thương
Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn bậc hai: đưa thừa số ra ngoài (hoặc vào trong) dấu căn, trục căn thức ở mẫu, quy đồng mẫu thức

Nếu các em chưa nắm được thì có thể xem lại và trong bài viết cô sẽ nhắc lại một cách tóm tắt.

Mục lục

Cách rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Phương pháp giải:

#1. Sử dụng hằng đẳng thức √A²=|A|

#2. Áp dụng các công thức khai phương của một tích hoặc khai phương của một thương

#3. Biến đổi đơn giản biểu thức chứa căn thức bậc hai

1. Đưa thừa số ra ngoài dấu căn:

2. Đưa thừa số vào trong dấu căn

3. Khử mẫu của biểu thức dưới dấu căn bậc hai

4. Trục căn thức ở mẫu

Các ví dụ về Rút gọn biểu thức chứa căn thức bậc hai

Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai sau:

Giải:

Để rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai ở trên, ta cần nhớ cách khai phương một tích, ta làm như sau:

Chứng minh đẳng thức:

Giải:

Để chứng minh đẳng thức trên, ta cần rút gọn vế trái về dạng bằng vế phải.

Biến đổi vế trái, ta có:

Như vậy, ta chẳng vội trục căn thức ở mẫu, mà nhận thấy xuất hiện hằng đẳng thức đáng nhớ vì thế ta viết ra khai triển và rút gọn cho mẫu thức.

Cho biểu thức:

a) Rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai P.

b) Tìm giá trị của a để P<0.

Giải:

a) Trước tiên ta quy đồng từng ngoặc.

Vậy ta đã rút gọn xong P.

b) Do a > 0 và a khác 1 nên P < 0 khi và chỉ khi

Như vậy, với a > 1 thì P < 0.

Sau đây, ta cùng làm một số bài tập trong sách giáo khoa Toán 9:

Bài tập: Rút gọn biểu thức có chứa căn thức bậc hai

Bài 1:

Rút gọn các biểu thức sau:

____________________________

Bài 2:

Rút gọn các biểu thức sau (với a > 0, b > 0):

Như vậy, muốn rút gọn biểu thức chứa căn, ta chỉ cần áp dụng thích hợp các phép tính và các phép biến đổi đã biết.

____________________________

Bài 3:

Cho biểu thức

a) Rút gọn biểu thức B;

b) Tìm x sao cho B có giá trị là 16.

Giải:

a) Để rút gọn biểu thức B, ta đưa thừa số ra ngoài căn để xuất hiện nhân tử chung:

b) Ta cho B = 16 và tìm x, kiểm tra điều kiện xác định và kết luận giá trị của x nếu thỏa mãn.

Vậy khi x = 15 thì B có giá trị là 16.

____________________________

Bài 4:

Chứng minh các đẳng thức sau:

____________________________

Bài 5.

Rút gọn biểu thức:

____________________________

Dạng bài tập liên quan đến Rút gọn biểu thức chứa căn

Các bài toán liên quan đến bài toán rút gọn biểu thức chứa căn bậc hai thường là:

1) Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến; (Tính giá trị A khi x = …)

2) Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức (Tìm x)

3) Tìm giá trị nguyên của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên ( Tìm x thuộc Z để biểu thức A có giá trị thuộc Z)

4) Tìm giá trị thực của biến để biểu thức nhận giá trị nguyên (Tìm x thuộc R để biểu thức A có giá trị thuộc Z)

5) So sánh biểu thức với một số hoặc một biểu thức khác

6) Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức

7) Giải và biện luận nghiệm phương trình
Xem thêm: Tổng hợp các bài Ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Sau đây là các bài toán liên quan mẫu theo các dạng chúng ta đã nói ở trên. Các bạn đọc đề và tự làm, sau đó check lại đáp án bên dưới.

Bài 1. (Dạng Rút gọn biểu thức chứa căn)

Rút gọn các biểu thức sau

Giải:

Chú ý: Nếu trong trường hợp đề bài không cho khoảng xác định của x thì khi phá dấu giá trị tuyệt đối, ta cần xem xét hai trường hợp như ở bài c, d phía trên (đối với bên trong dấu giá trị tuyệt đối là x mũ lẻ)

Bài 2. (Dạng Tìm giá trị của biểu thức khi biết giá trị của biến)

Cho biểu thức

$P=\frac{x-\sqrt{x}}{x-9}+\frac{1}{\sqrt{x}+3}-\frac{1}{\sqrt{x}-3}$ với x≥ 0 và x ≠9.

a) Rút gọn biểu thức P.

b) Tính giá trị của P trong các trường hợp:

$i)\, x=\frac{9}{4}$

$ii)\, x=\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}$

(Sách Củng cố và ôn luyện Toán 9)

Hướng dẫn giải:

a) Trước khi ta thực hiện rút gọn biểu thức P, bạn cần nhìn kĩ mẫu thức là gì, có mẫu thức chung là gì?

Ví dụ như ở bài này, biểu thức P có các mẫu thức x − 9, √x + 3, √x − 3.

Ta sẽ hiểu ngay là chọn mẫu thức chung là x − 9 vì x − 9 = (√x + 3)(√x − 3) (Hằng đẳng thức đáng nhớ).

Sau khi chọn mẫu thức chung, ta thực hiện quy đồng các phân thức.

Muốn tính giá trị biểu thức P khi x = 9/4, ta trực tiếp thay x = 9/4 vào biểu thức vừa rút gọn xong rồi tính ra kết quả.

ii)\, x=\sqrt{6+4\sqrt{2}}+\sqrt{6-4\sqrt{2}}

Trước tiên, ta rút gọn x. Biểu thức dưới căn có dạng của bình phương của một tổng và bình phương một hiệu.

Bây giờ bạn thay x = 4 vào biểu thức đã rút gọn ở câu a, tính ra kết quả P = 4/5.

______________________________

Bài 3. (Dạng Tìm giá trị của biến khi biết giá trị của biểu thức)

Cho biểu thức

$N=\left ( \frac{x+2}{x\sqrt{x}+1}-\frac{1}{\sqrt{x}+1} \right ).\frac{4\sqrt{x}}{3}$ với x ≥ 0.

a) Rút gọn biểu thức N.

b) Tìm x để N = 8/9.

c) Tìm x để

$\frac{1}{N}>\frac{3\sqrt{x}}{4}$

Hướng dẫn giải:

a) Tương tự bài trên, để rút gọn biểu thức N, ta cũng xem kĩ các mẫu thức để chọn ra mẫu thức chung và quy đồng các phân thức.

Ta có:

x√x + 1 = (√x)³ + 1 = (√x + 1)(x – √x + 1) (Hằng đẳng thức đáng nhớ)

__________________________

Bài 4. (Dạng tìm x thỏa mãn điều kiện của biểu thức)

Cho biểu thức:

a) Tìm tập xác định của A.

b) Rút gọn biểu thức A.

c) Tính giá trị của A tại x = 1.

d) Tìm giá trị của x khi A = 1/3

e) Tìm giá trị của x khi A < 0

Giải:

a) Để tìm tập xác định của biểu thức, ta cần xem có những căn thức nào, mẫu thức là gì.

Đối với căn thức ta sẽ cho biểu thức dưới căn không âm, còn mẫu thức khác 0 thì ta sẽ tìm được tập xác định của biểu thức A.

Ta nhìn biểu thức dưới căn là hằng đẳng thức:

9x² − 6x+1 = (3x − 1)² ≥ 0 ∀x nên ta không cần tìm điều kiện xác định của biểu thức dưới căn.

Mẫu thức là 9x² − 1 = (3x − 1)(3x + 1) phải khác 0. Ta giải:

(3x − 1)(3x + 1) ≠ 0 ⇔ x ≠ 1/3 và x ≠ -1/3.

Vậy tập xác định của biểu thức A là D = R\{±1/3}.

b) Sau đây ta sẽ rút gọn biểu thức A.

c) Với x = 1 > 1/3, ta thay x = 1 vào biểu thức

$A=\frac{1}{3x+1}=\frac{1}{3.1+1}=\frac{1}{4}$

d) Để A = 1/3, ta có hai trường hợp:

Trường hợp 1: Nếu

Trường hợp 2: Nếu

e) Ta có:

Bài 5. (Dạng tìm x nguyên để biểu thức nhận giá trị nguyên)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn A

b) Tìm x nguyên để

có giá trị nguyên.

Giải:

b) Trước tiên ta rút gọn biểu thức như sau:

Bài 6. (Dạng So sánh biểu thức với một số)

Cho các biểu thức

a) Rút gọn biểu thức A và B.

b) Đặt P = A/B. Hãy so sánh P với 1.

Phương pháp giải: Để so sánh một biểu thức M với một số a, ta có thể xét hiệu M – a và xét dấu của hiệu này.

Nếu M – a > 0 thì M > a.

Nếu M – a < 0 thì M < a.

Giải:

a) Sau khi rút gọn ta được

b) Đầu tiên ta tính P = A/B như sau:

Bài 7. (Dạng Tìm giá trị lớn nhất hoặc nhỏ nhất của biểu thức)

Cho các biểu thức:

a) Rút gọn B

b) Tìm giá trị nhỏ nhất của 1/B.

Giải:

a) Sau khi rút gọn, ta được:

b) Ta tính 1/B.

Phương pháp giải: Ta đưa biểu thức đang xét về dạng đơn giản hơn và sử dụng các biến đổi tương đương để tìm ra giá trị lớn nhất (nhỏ nhất).

Chú ý rằng:

Biểu thức P nhỏ hơn hoặc bằng a tức là P có giá trị lớn nhất là a.
Biểu thức P lớn hơn hoặc bằng b tức là P có giá trị nhỏ nhất là b.

Bài 8. (Dạng giải và biện luận phương trình)

Cho biểu thức:

a) Rút gọn B

b) Tìm m để phương trình B = m có nghiệm x >9.

Giải:

a) Sau rút gọn, ta thu được

Để xét dấu biểu thức này, ta có thể lập bảng xét dấu như sau:

1.Tìm các giá trị của m để m – 1 = 0, 4 – 2m = 0, ta thu được m = 1 và m = 2.

2. Đặt giá trị của m vừa tìm được theo thứ tự từ bé đến lớn (trái sang phải)

3. Gióng vị trí giá trị m = 1 và m – 1 ghi 0, gióng giá trị m = 2 và 4 – 2m ghi 0.

4. Dòng 1: Bên phải số 0 sẽ cùng dấu với m trong m – 1 tức là dấu +, bên trái số 0 sẽ trái dấu với m trong m – 1 tức là dấu âm.

Dòng 2: Dấu của m trong 4-2m là âm, nên bên phải số 0 là dấu – và bên trái số 0 là dấu +

5. Xét dấu của thương: +/- = -; +/+ = +; -/+ = -. Vậy khoảng ta cần tìm là 1 < m < 2.

Trên đây, chúng ta đã vừa học cách rút gọn biểu thức chứa căn và cách giải các dạng bài liên quan đến bài rút gọn biểu thức chứa căn. Đây là những dạng bài có trong đề thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán nên các em cần ôn luyện cẩn thận.

Bước rút gọn là quan trọng nhất vì nếu sai bước này dẫn tới sai cả những câu sau. Vì thế, khi rút gọn ta đặc biệt cẩn thận làm từng bước.

Chúc các bạn học tốt!

Th.s Toán học

Nguyễn Thùy Dung

Về chuyên mục Toán 9

Tổng hợp các bài ôn thi tuyển sinh vào lớp 10 môn Toán

Xem thêm:

Xem thêm Bài tập Rút gọn biểu thức có đáp án

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.

Comments

dactylic

I’vе been exploring for a bit for any high quality artіcles or blog posts on this sort of space
. Exploring in Yahoο I ultimately stumblеd upon this website.
Studying this infօ So i’m satisfied to show that I hɑve a very good uncanny fеeling I came upon just what I needed.
I so mᥙch unquestionably will make sure tο do not overlook this site and give it a look regularly.

Bình luận 23/01/2022 |