Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes – Bài giảng Toán giải tích 2

Ở bài viết này chúng ta cùng học cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes và tọa độ cực.

Tích phân kép (Tích phân 2 lớp) là gì?

Tích phân kép là sự mở rộng của tích phân xác định của hàm số một biến sang tích phân của hàm số hai biến, do đó có rất nhiều điểm tương tự với tích phân xác định.

Khái niệm tích phân kép được đưa ra để phục vụ cho việc tính thể tích vật thể hình trụ cong.

Tích phân kép kí hiệu:

Trong đó:

• Miền D: miền lấy tích phân
• f : hàm dưới dấu tích phân
• dx, dy lần lượt là các vi phân theo biến x và y

Cách tính tích phân kép trong tọa độ Descartes (Đề-các)

Đưa về tích phân lặp

Ta dùng định lí Fubini:

Ở trường hợp thứ nhất, hay nói nhìn theo chiều dương của trục Oy (hay nhìn từ dưới lên trên) ta thấy

D nằm giữa hai đồ thị liên tục của x, tức là:

thì ta có:

Ở trường hợp thứ 2, nếu ta nhìn theo chiều dương của trục Ox (hay nhìn từ trái sang phải) thì ta thấy

D nằm giữa hai đồ thị liên tục của y, tức là:

thì ta có:

Tóm lại, để tính tích phân kép ta chỉ cần tính lần lượt hai tích phân xác định.

Ở trường hợp 1, ta làm như sau:

Đầu tiên, ta tính tích phân

xem x là hằng số, kết quả cho ta 1 hàm số của x.

Sau đó, ta tính tích phân hàm số vừa tìm được theo x từ a đến b, ta được kết quả cần tìm.

Chú ý:

1/ Khi D là miền đơn giản

2/ Khi D là miền phức tạp

Khi tính tích phân kép bằng các công thức trên, vấn đề xác định cận tích phân đóng vai trò rất quan trọng.

Sau đây ta sẽ xác định các cận tích phân ở ví dụ sau đây:

Hướng dẫn giải:

Trong bài này, miền D là hình chữ nhật:

D = { 0 ≤ x ≤ 3; 0 ≤ y ≤ 2}. 

Do đó, ta thay cận của x và cận của y, ta có:

Đầu tiên, ta tính tích phân theo y và xem x là hằng số, ta có:

Tính

trong đó D là miền bị chặn bởi các parabol y = 2x² và y = 1 + x².

Hướng dẫn giải:

Bước 1: Vẽ miền D trên tọa độ Đề-các.

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm 2x² = 1 + x²

=> x² = 1 => x = ±1.

Vậy có 2 giao điểm là (-1;2) và (1;2).

Bước 2: Xác định cận của tích phân

Nhìn theo hướng dương của trục Oy (từ dưới lên trên), ta thấy miền D bị chặn dưới bởi y = 2x² và bị chặn trên bởi y = x² + 1.

Vì vậy, ta có:

D = { -1 ≤ x ≤ 1; 2x² ≤ y ≤ x² + 1}. 

Đổi thứ tự tính tích phân

Nếu miền D là hình chữ nhật như ví dụ 1, ta hoàn toàn có thể đổi

Chủ yếu đổi thứ tự tính tích phân là lựa chọn tính theo x trước hay tính theo y trước.

Dạng bài tập này ta có thể lấy ví dụ để hiểu cách làm như sau:

Đổi thứ tự lấy cận trong tích phân sau:

Hướng dẫn giải:

Đề bài đang cho thứ tự tính theo y trước, x sau.

Giờ ta phải đổi lại thứ tự tính theo x trước, y sau.

Bước 1: Dựng miền D

Từ đề bài, ta có miền D được giới hạn như sau:

D = { 0 ≤ x ≤ 2; 0 ≤ y ≤ 1-x/2}

Viết lại phương trình các đường biên của miền D dưới dạng x theo y.

Đường thẳng y = 1 – x/2 viết lại là x = 2 – 2y.

Bước 2: Viết lại miền D theo hướng dương của trục Ox (vì ta sẽ tính x trước)

Giờ ta nhìn theo hướng dương của trục Ox (nhìn từ trái sang phải), miền D được viết lại là:

D = { 0 ≤ x ≤ 2 – 2y ; 0 ≤ y ≤ 1}

Bước 3: Viết lại tích phân theo thứ tự mới

Vì thế, tích phân sau khi đổi cận là:

Đổi thứ tự tính tích phân

Hướng dẫn giải:

Ta dựng miền D:

mà x < 0 nên đường cong có phương trình là

Ta nhìn theo hướng dương của trục Ox, ta viết lại miền D như sau:

Vậy ta viết lại tích phân sau khi đổi cận như sau:

Như vậy, để đổi thứ tự tích phân kép, ta sẽ xác định miền D từ đề bài.

Nếu đề bài là thứ tự tính y trước x sau thì ta đổi thứ tự tính x trước y sau.

Tức là nếu đề bài nhìn theo hướng dương trục Oy thì ta sẽ nhìn theo hướng dương của trục Ox để tìm xem x bị chặn bởi những hàm nào theo y (Viết phương trình các đường dưới dạng x theo y), rồi mới xem đến y đi từ đâu đến đâu để điền cận.

Phép đổi biến trong tích phân kép

Đôi khi, ta có thể sử dụng phép đổi biến để tính tích phân kép dễ dàng hơn.

Công thức đổi biến số trong tích phân kép

Xét tích phân kép

Trong đó, f(x,y) liên tục trên D.

Ta thực hiện phép đổi biến số:

x = x(u,v) ; y = y(u,v)

Giả sử:

x(u,v), y(u,v) là những hàm số liên tục và có các đạo hàm riêng liên tục trong một miền đóng D’ của mặt phẳng O’uv.

Các phép đổi biến xác định một song ánh từ miền D’ lên miền D của mặt phẳng Oxy.

Định thức Jacobi

Khi đó ta có công thức:

Chú ý:

Tóm lại, ta thực hiện đổi biến như sau:

Bước 1: Đặt u, v theo x, y sau đó tính định thức Jacobi (như ví dụ trên)

Bước 2: Tìm miền D’ theo u và v

Bước 3: Thay vào công thức tính tích phân kép

Ví dụ 5.

Tính

với D là miền giới hạn bởi các đường y = -x, y = -x + 3, y = 2x – 1, y = 2x + 1.

Hướng dẫn giải:

Miền D có dạng hình bình hành như hình vẽ sau:

Ta thực hiện đổi biến số:

Ta tìm giới hạn của hình chữ nhật D’:

Ta tính định thức Jacobi:

Thay vào công thức tính tích phân, ta có:

Ví dụ 6.

Tính

trong đó miền D được giới hạn bởi

Hướng dẫn giải:

Do đó, ta có:

Nếu cần kiểm tra kết quả tính vào đây

Trong bài viết này, tôi đã hướng dẫn bạn cách tính tích phân kép (tích phân 2 lớp) trong hệ tọa độ Đề-các, bạn có thể luyện tập với các bài tập dưới đây:

Xem tiếp:

Tính tích phân kép trong tọa độ cực

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ Descartes

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ trụ

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ cầu