Căn bậc ba là gì? Cách tìm căn bậc ba của một số

by Dung Nguyễn Thùy | category Học Toán 9 | Không có bình luận

Ở bài viết này, bạn sẽ đến với khái niệm Căn bậc ba và cách tìm căn bậc ba của một số thực. Hãy đọc và học cách áp dụng căn bậc ba vào bài tập nhé!

Căn bậc ba khác với căn bậc hai, mọi số thực đều có căn bậc ba nhưng chỉ có các số không âm mới có căn bậc hai.

Nhưng về bản chất, căn bậc ba cũng là kết quả ngược của việc mũ ba một số hay lũy thừa bậc ba một số.

Ví dụ: 2³ = 8 thì căn bậc ba của 8 là 2, 3³ = 27 thì căn bậc ba của 27 là 3, -2³ = -8 thì căn bậc ba của -8 là -2.

Xem bài liên quan: Căn bậc hai

Mục lục

Căn bậc ba là gì?

Căn bậc ba của một số thực a là số thực x sao cho x³ = a.

Kí hiệu:

$\large \sqrt[3]{a}$

Chú ý:

Mọi số thực đều có duy nhất một căn bậc ba.
Căn bậc ba của số dương là số dương
Căn bậc ba của số âm là số âm
Căn bậc ba của số 0 là số 0.

Cách tìm căn bậc ba (CBB) của một số

Muốn tìm căn bậc ba của một số a thì ta xem bao nhiêu mũ ba lên thì bằng a.

Căn bậc ba của 27 là 3 vì 3³ = 27.

$\large \sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\frac{1}{\sqrt[3]{125}}=\frac{1}{5}$

Đối với các số lớn thì bạn có thể dùng máy tính:

$\large \sqrt[3]{729}=9$

Căn bậc ba của – 64 là bao nhiêu?

Ta biết rằng -64 = (- 4).(-4).(-4) = (-4)³ nên

$\large \sqrt[3]{-64}=-4$

Tính:

$\large \sqrt[3]{-512}=-8$

$\large \sqrt[3]{-343}=-7$

Căn bậc ba của 0,064 bằng bao nhiêu?

$\large \sqrt[3]{0,064}=0,4$

Tính bằng cách sử dụng máy tính:

$\large \sqrt[3]{-0,216}=-0,6$

$\large \sqrt[3]{-0,008}=-0,2$

Các công thức về căn bậc ba

1. Căn bậc ba của một tích bằng tích các CBB

$\large \sqrt[3]{A.B}=\sqrt[3]{A}.\sqrt[3]{B}$

2. Căn bậc ba của một thương bằng thương các CBB

$\large \sqrt[3]{\frac{A}{B}}=\frac{\sqrt[3]{A}}{\sqrt[3]{B}}$

với B khác 0.

3. Căn bậc ba và các đẳng thức, bất đẳng thức liên quan

$\large \sqrt[3]{A}=\sqrt[3]B {\Leftrightarrow A=B}$

$\large \sqrt[3]{A}<\sqrt[3]{B}\Leftrightarrow A<B$

4. Trục căn thức bậc ba

Để trục căn thức bậc ba, ta sử dụng các hằng đẳng thức bậc ba đã học:

(A + B)(A² – AB + B²) = A³ + B³

(A – B)(A² + AB + B²) = A³ – B³

Các dạng bài tập về căn bậc ba

Dạng 1. Thực hiện phép tính và rút gọn biểu thức chứa CBB

Cách giải: Ta áp dụng công thức

$\large \sqrt[3]{a^3}=a$

và các hằng đẳng thức đáng nhớ về lập phương một tồng, lập phương một hiệu, hiệu và tổng hai lập phương đã học ở Toán 8:

(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

(A – B)³ = A³ – 3A²B + 3AB² – B³

(A + B)(A² – AB + B²) = A³ + B³

(A – B)(A² + AB + B²) = A³ – B³

Sau đây ta sẽ làm một số ví dụ và bài tập.

Tính:

$\large \sqrt[3]{27}=3$

$\large \sqrt[3]{\frac{1}{125}}=\frac{1}{5}$

$\large \sqrt[3]{64a^3}=\sqrt[3]{64}.\sqrt[3]{a^3}=4a$

$\large \sqrt[3]{-8a^3b^6}=\sqrt[3]{-8}.\sqrt[3]{a^3}.\sqrt[3]{b^6}=-2ab^2$

Thực hiện phép tính:

$\large a)\: \sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{-8}-\sqrt[3]{125}=3-(-2)-5=3+2-5=0$

Ở ví dụ này ta có thể khai căn từng số 27, -8 và -125.

$\large b)\: \frac{\sqrt[3]{135}}{\sqrt[3]{5}}-\sqrt[3]{54}.\sqrt[3]{4}$

Ở câu b, ta áp dụng công thức ở trên, thương của hai căn bậc ba thì bằng CBB của thương, tích hai căn bậc ba thì bằng CBB của tích, nên ta có:

$\large =\sqrt[3]{\frac{135}{5}}-\sqrt[3]{54.4}$

$\large =\sqrt[3]{27}-\sqrt[3]{216}$

$\large =3-6=-3$

$\large c)\: \sqrt[3]{-\frac{1}{2}}.\sqrt[3]{18}.\sqrt[3]{-3}$

$\large =\sqrt[3]{-\frac{1}{2}.18.(-3)}=\sqrt[3]{27}=3$

$\large d)\: (\sqrt[3]{-2}+1)(\sqrt[3]{4}+\sqrt[3]{2}+1)$

Ta thấy rằng, biểu thức này chính là khai triển của tổng hai lập phương, ta viết lại là:

$\large =(\sqrt[3]{-2}+1)((\sqrt[3]{-2})^2-\sqrt[3]{-2}+1)$

$\large =(\sqrt[3]{-2})^3+1=-2+1=-1$

Rút gọn các biểu thức sau:

$\large a) \: A=\sqrt[3]{126x^3+75x^2+15x+1}-5x$

Bạn có thể nhận ra rằng biểu thức dưới CBB là lập phương của một tổng, nên ta viết lại:

$\large A=\sqrt[3]{(5x)^3+3.25x^2+3.5x+1^3}-5x$

$\large =\sqrt[3]{(5x+1)^3}-5x$

$\large =5x+1-5x=1$

$\large b)\: B=\sqrt[3]{x\sqrt{x}+1}\sqrt[3]{x\sqrt{x}-1}-\sqrt[3]{1-x^3}$

Mỗi biểu thức dưới CBB là một hằng đẳng thức: tổng các lập phương và hiệu các lập phương. Nhưng không vì thế mà ta khai triển tung hết ra.

Nếu gộp hai căn đầu tiên thành căn bậc ba của tích thì ta có ³√(A+B)(A-B)=³√(A² – B²).

$\large B=\sqrt[3]{((\sqrt x)^3+1)((\sqrt x)^3-1)}-\sqrt[3]{1-x^3}$

$\large =\sqrt[3]{x^3-1}-\sqrt[3]{1-x^3}$

$\large =2\sqrt[3]{x^3-1}$

Dạng 2. So sánh các căn bậc ba

Cách giải: Để so sánh các căn bậc ba, ta cần chú ý:

$\large \sqrt[3]{A}<\sqrt[3]{B}\Leftrightarrow A<B$

So sánh các cặp số sau:

$\large a)\: 2\sqrt[3]{3} ; \sqrt[3]{23}$

Ta viết lại 2³√3 = ³√(8.3) = ³√24 > ³√23 vì 24 > 23.

$\large b)\: 15;\, 3\sqrt[3]{126}$

15 = 3.5 = 3.³√125 < 3.³√126. Vậy 15 < 3³√126

Tìm x biết:

$\large \: \sqrt[3]{2x+1}<3$

Giải. Ta cần khử CBB. Biến đổi tương đương phương trình bằng cách lập phương hai vế như sau:

$\large (\sqrt[3]{2x+1})^3<3^3\Leftrightarrow 2x+1<27\Leftrightarrow 2x<26\Leftrightarrow x<13.$

Vậy x < 13.

____________________

Dạng 3. Giải phương trình chứa căn bậc 3

Cách giải: Ta áp dụng

\large \sqrt[3]{A}=B\Leftrightarrow A=B^3

Giải phương trình:

$\large a)\: x^3=1$

$\large \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{1}=1$

$\large b)\: 8x^3=-27$

$\large \Leftrightarrow x^3=\frac{-27}{8}$

$\large \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{\frac{-27}{8}}$

$\large \Leftrightarrow x=\frac{\sqrt[3]{-27}}{\sqrt[3]{8}}=\frac{-3}{2}$

$\large c)\: 2x^3=0,016$

$\large \Leftrightarrow x^3=0,008$

$\large \Leftrightarrow x=\sqrt[3]{0,008}=0,2$

__________________________

Giải phương trình:

$\large a)\: \sqrt[3]{3x+1}=-5$

$\large \Leftrightarrow 3x+1=(-5)^3$

$\large \Leftrightarrow 3x+1=-125$

$\large \Leftrightarrow 3x=-125-1$

$\large \Leftrightarrow 3x=-126$

$\large \Leftrightarrow x=-126:3=42$

$\large b)\: \sqrt[3]{x+1}=\sqrt[3]{x^2-1}$

Biến đổi tương đương phương trình về dạng:

$\large (\sqrt[3]{x+1})^3=(\sqrt[3]{x^2 -1})^3$

$\large \Leftrightarrow x+1=x^2-1$

$\large \Leftrightarrow x+1=(x-1)(x+1)$

$\large \Leftrightarrow (x+1)(x-1-1)=0$

$\large \Leftrightarrow x+1=0 \: or \: x-2=0$

Vậy x = -1 hoặc x = 2.

Tham khảo thêm tại đây

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.