Đường tròn – Full lí thuyết về Đường tròn (Chương II – Toán hình 9)

Toán hình học 9 về đường tròn là một phần không thể thiếu trong đề thi tuyển sinh vào 10.

Bạn sẽ không thể bỏ qua các kiến thức quan trọng về đường tròn.

Bài viết sau sẽ củng cố đầy đủ kiến thức lí thuyết về đường tròn cũng như các dạng toán về đường tròn mà bạn sẽ gặp phải trong quá trình học.

1. Sự xác định đường tròn – chứng minh các điểm cho trước nằm trên đường tròn

Đường tròn là gì?

Tập hợp các điểm cách điểm O cố định một khoảng bằng R không đổi (R > 0) là đường tròn tâm O bán kính R.

Kí hiệu: (O) hoặc (O;R)

Ví dụ. Cho O cố định, điểm A cách O một khoảng R = 2 cm. Vậy tập hợp các điểm A cách điểm O một khoảng R = 2cm là đường tròn (O; 2 cm).

Vị trí tương đối của điểm M và đường tròn (O;R)

Điểm M nằm trên đường tròn (O) khi OM = R.

Điểm M nằm trong đường tròn (O) khi OM < R.

Điểm M nằm ngoài đường tròn (O) khi OM > R.

Ví dụ. 

M nằm trên đường tròn (O).

N nằm trong đường tròn (O).

P nằm ngoài đường tròn (O).

Như vậy để chỉ ra một điểm nằm trên, nằm trong hay nằm ngoài đường tròn, ta chỉ cần so sánh khoảng cách từ điểm đó đến tâm với bán kính R.

Định lí về sự xác định một đường tròn

1) Qua ba điểm không thẳng hàng, ta vẽ được một và chỉ một đường tròn.

2) Đường tròn đi qua ba đỉnh của một tam giác gọi là đường tròn ngoại tiếp tam giác.

Tâm đường tròn ngoại tiếp tam giác là giao điểm của ba đường trung trực của tam giác đó.

(Chú ý: Bạn nhớ rằng Tâm đường tròn nội tiếp là giao của ba đường phân giác; Trực tâm là giao của ba đường cao; Trọng tâm là giao ba đường trung tuyến)

Đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC có tâm O là giao của ba đường trung trực của tam giác ABC.

Tính chất đối xứng của đường tròn

Đường tròn là hình có tâm đối xứng và trục đối xứng.

+ Tâm đối xứng là tâm đường tròn.

+ Trục đối xứng là bất kì đường kính nào của đường tròn.

Dạng toán chứng minh các điểm cho trước nằm trên một đường tròn

Cách giải:

Dựa vào định nghĩa đường tròn, ta có cách giải như sau:

Cách 1: Ta sẽ chứng minh các điểm cho trước cùng cách đều một điểm nào đó. 

Cách 2:Ta dùng định lí : “Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.”

Bài tập mẫu.

Bài 1. Chứng minh các định lí sau:

a) Tâm của đường tròn ngoại tiếp tam giác vuông là trung điểm cạnh huyền của tam giác đó.

b) Nếu một tam giác có một cạnh là đường kính của đường tròn ngoại tiếp thì tam giác đó là tam giác vuông.

Giải:

a) Giả sử tam giác ABC vuông tại A. Gọi O là trung điểm của BC, ta suy ra OA = OB = OC (trung tuyến ứng với cạnh huyền bằng nửa cạnh huyền)

nên ta suy ra O là tâm đường tròn đi qua A, B, C.

b) Giả sử BC là đường kính đường tròn ngoại tiếp tam giác ABC, tâm O là trung điểm BC, ta có:  OA = OB = OC.

Suy ra OA = 1/2 BC mà OA là trung tuyến tam giác ABC nên ABC là tam giác vuông tại A.

---

Bài 2. Cho tam giác ABC có các đường cao BD, CE. Chứng minh bốn điểm B, E, D, C cùng nằm trên một đường tròn.

Hãy chỉ rõ tâm và bán kính của đường tròn đó.

Giải:

Gọi O là trung điểm BC.

Áp dụng định lí trên (Bài 1) tam giác BEC vuông tại E có: OB = OC = OE nên B, E, C thuộc đường tròn (O) bán kính BC/2.

Tam giác vuông BDC có OB = OC = OD nên B, C, D thuộc đường tròn (O) bán kính BC/2.

Vậy B, C, D, E thuộc đường tròn (O; BC/2) .

---

Bài 3. Cho tam giác ABC có đường cao AD và trực tâm H. Gọi I, K lần lượt là trung điểm của HA, HB. Gọi E, F lần lượt là trung điểm của BC, AC. Chứng minh:

a) Bốn điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn.

b) Điểm D cũng thuộc đường tròn đi qua bốn điểm E, F, I, K.

Giải:

a) Ta có thể thấy hướng đi chứng minh 4 điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn đưa về chứng minh hai cặp tam giác vuông IKE và IFE,

hay là chứng minh tứ giác IFEK là hình chữ nhật.

Từ đó ta để ý ở đề bài có các trung điểm =>> ta nghĩ đến các đường trung bình.

Xét tam giác AHB: IK là đường trung bình => IK // AB và IK = AB/2

Xét tam giác ABC: FE là đường trung bình => EF // AB và EF = AB/2

Ta suy ra IK // EF và IK = EF nên tứ giác IFEK là hình bình hành

Mà CH là đường cao (H là trung trực tam giác ABC) nên CH ⊥ AB nên CH ⊥ IK mà IF // CH (IF là đường trung bình tam giác AHC) nên IF ⊥ IK

Vậy IFEK là hình chữ nhật.

Ta suy ra I, K, E thuộc đường tròn đường kính IE và I, F, E thuộc đường tròn đường kính IE nên 4 điểm E, F, I, K cùng thuộc một đường tròn đường kính IE (hoặc KF).

b) Do góc IDE = 90° nên D cũng thuộc đường tròn đường kính IE suy ra D thuộc đường tròn đi qua 4 điểm E, F, I, K.

Xem thêm: Toán 9 – Góc nội tiếp

---

2. Đường kính và dây của đường tròn

Đường kính của đường tròn

Dây của đường tròn là đoạn thẳng đi qua hai điểm nằm trên đường tròn đó. Đường kính cũng là dây cung của đường tròn.

Định lí:

Trong các dây của đường tròn, dây cung lớn nhất là đường kính.

Quan hệ vuông góc giữa đường kính và dây của đường tròn

Trong một đường tròn, đường kính vuông góc với một dây thì đi qua trung điểm của dây ấy.

Trong một đường tròn, đường kính đi qua trung điểm của một dây thì vuông góc với dây ấy.

Liên hệ giữa dây và khoảng cách từ tâm đến dây

Trong một đường tròn:

+ Hai dây bằng nhau thì cách đều tâm.

+ Hai dây cách đều tâm thì bằng nhau.

Trên hình vẽ, bạn sẽ thấy rằng nếu hai dây AB và A’B’ bằng nhau thì OM = OM’. Ngược lại, nếu OM = OM’ thì dây AB = dây A’B’.

Trong hai dây của một đường tròn:

+ Dây nào lớn hơn thì dây đó gần tâm hơn.

+ Dây nào gần tâm hơn thì dây đó lớn hơn.

Nếu dây CD > AB thì ON < OM. Ngược lại, nếu OM > ON thì AB < CD.

Chú ý: Kiến thức trên sẽ giúp bạn so sánh độ dài các đoạn thẳng và có thể chứng minh hai đoạn thẳng bằng nhau.

Các dạng bài tập về tính độ dài đoạn thẳng, so sánh hai đoạn thẳng

Cách giải:

Sử dụng các kiến thức về quan hệ vuông góc giữa các đường kính và dây, định lí Pytago và hệ thức lượng trong tam giác vuông.

3. Vị trí tương đối của đường thẳng và đường tròn

Đường thẳng và đường tròn cắt nhau: Số điểm chung là 2. 

Đường thẳng và đường tròn tiếp xúc nhau: Số điểm chung là 1.

Đường thẳng và đường tròn không giao nhau: Số điểm chung là 0.

Trên hình vẽ, đường thẳng b giao (cắt) (O) tại A và B tức là có hai điểm chung.

Đường thẳng a không có điểm chung với (O) tức là đường thẳng a và (O) không giao nhau.

Đường thẳng t và (O) có một điểm chung duy nhất tức là đường thẳng t và (O) tiếp xúc nhau. Trong đó, điểm tiếp xúc A được gọi là tiếp điểm. Đường thẳng t được gọi là tiếp tuyến của (O).

Định lí.

Nếu một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn thì nó vuông góc với bán kính đi qua tiếp điểm.

4. Dấu hiệu nhận biết tiếp tuyến của đường tròn

Dấu hiệu:

Nếu một đường thẳng đi qua một điểm của đường tròn và vuông góc với bán kính đi qua điểm đó thì đường thẳng ấy là một tiếp tuyến của đường tròn.

Ở hình vẽ trên đường AB đi qua A và vuông góc với OA tại A, như vậy AB là tiếp tuyến của đường tròn (O) tại điểm A.

Ngoài ra, ta có thể áp dụng định nghĩa tiếp tuyến để chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến đó là: Một đường thẳng và một đường tròn chỉ có một điểm chung thì đường thẳng đó là tiếp tuyến của đường tròn.

Dạng toán chứng minh một đường thẳng là tiếp tuyến của một đường tròn

Cách giải: 

Để chứng minh đường thẳng t là tiếp tuyến của (O;R) tại tiếp điểm A, ta có thể làm một trong các cách sau:

Cách 1: Chứng minh A nằm trên (O) và OA ⊥ t tại A.

Cách 2: Kẻ OH vuông góc với t tại H và chứng minh OH = OA = R.

Cách 3: Vẽ tiếp tuyến t’ của (O) và chứng minh t ≡ t’.

5. Tính chất hai tiếp tuyến cắt nhau

Tính chất của hai tiếp tuyến cắt nhau

Nếu hai tiếp tuyến của đường tròn cắt nhau tại một điểm thì

+ Điểm đó cách đều hai tiếp điểm.

+ Tia kẻ từ điểm đó đi qua tâm là tia phân giác của góc tạo bởi hai tiếp tuyến.

+ Tia kẻ từ tâm đi qua điểm đó là tia phân giác của góc tạo bởi hai bán kính đi qua các tiếp điểm.

Cho hai tiếp tuyến tại A và tại B của (O) và chúng cắt nhau tại D. Ta có tính chất sau:

+) AD = CD

+) DO là phân giác của góc ADC

+) OD là phân giác của góc AOC

Đường tròn nội tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với ba cạnh của một tam giác gọi là đường tròn nội tiếp của tam giác, hay là tam giác ngoại tiếp đường tròn.

Như đã nói ở phần trên, tâm đường tròn nội tiếp tam giác là giao điểm của ba đường phân giác các góc trong tam giác.

Đường tròn bàng tiếp tam giác

Đường tròn tiếp xúc với một cạnh của một tam giác và tiếp xúc với phần kéo dài của hai cạnh còn lại là đường tròn bàng tiếp tam giác.

Mỗi tam giác có ba đường tròn bàng tiếp.

Tam đường tròn bàng tiếp tam giác góc A là giao điểm của hai đường phân giác các góc ngoài tại B và C hoặc là giao điểm của đường phân giác góc A và đường phân giác ngoài tại B (hoặc C).

6. Vị trí tương đối của hai đường tròn

Hai đường tròn cắt nhau:

Hai đường tròn (O) và (O’) có hai điểm chung được gọi là hai đường tròn cắt nhau.

Hai điểm chung A và B gọi là hai giao điểm.

Đoạn thẳng AB nối hai giao điểm gọi là dây chung.

Hai đường tròn tiếp xúc nhau:

hoặc 

Hai đường tròn (O) và (O’) chỉ có một điểm chung được gọi là hai đường tròn tiếp xúc nhau.

Điểm chung A được gọi là tiếp điểm.

Hai đường tròn không giao nhau.

Hai đường tròn không có điểm chung được gọi là hai đường tròn không giao nhau.

hoặc 

Tính chất đường nối tâm

Đường nối tâm (là đường thẳng đi qua tâm 2 đường tròn) là trục đối xứng của hình tạo bởi hai đường tròn.

Chú ý:

Nếu hai đường tròn tiếp xúc nhau thì tiếp điểm nằm trên đường nối tâm.

Nếu hai đường tròn cắt nhau thì đường nối tâm là đường trung trực của dây chung.

Liên hệ giữa vị trí của hai đường tròn với đoạn nối tâm d và các bán kính R, r

Xem thêm:

Các hệ thức lượng trong tam giác vuông

Các bài tập ôn chương 2