Toán 9 – Hàm số và đồ thị: Hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Khi nói về vị trí tương đối của hai đường thẳng, ta sẽ xét đến 3 trường hợp sau:

• Hai đường thẳng song song
• Hai đường thẳng cắt nhau
• Hai đường thẳng trùng nhau

Vậy làm thế nào chỉ dựa vào phương trình đường thẳng đã cho để biết hai đường thẳng là song song hay cắt nhau, trùng nhau.

Câu trả lời chính là: Ta sẽ so sánh các hệ số của các phương trình đường thẳng với nhau.

Cụ thể như sau:

Nhận biết hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau?

Đặc biệt: Nếu a.a’ = -1 thì hai đường thẳng vuông góc với nhau.

Ta đi vào ví dụ để hiểu cách làm nhé:

Xét vị trí tương đối của các cặp đường thẳng sau:

a) (d1): y = -3x +2

(d2): y = 2x +3

Ta thấy rằng vì a = -3 còn a’ = 2 nên a khác a’ => d1 cắt d2

b) (d3): y = -x – 2

(d4): y = -x + 4

Ta có a = a’ = -1 còn b = -2 khác b’ = 4 nên d3 // d4

c) (d5): y = -1/2 x -3

(d6): y = 2x +1

Ta có a.a’ = -1/2.2 = -1 nên d5 vuông góc d6.

Nếu hai đường thẳng cắt nhau thì chúng sẽ có giao điểm.

Và ta có thể xác định giao điểm của hai đường thẳng bằng cách như sau:

Dạng 1: Xác định giao điểm của hai đường thẳng

Để tìm giao điểm của hai đường thẳng y = ax + b và y = a’x + b’ ta xét phương trình hoành độ giao điểm sau:

ax + b = a’x + b’

Giải phương trình trên ta tìm được x.

Thay x vào 1 trong hai phương trình y = ax + b và y = a’x + b’ để tìm y.

Kết luận giao điểm có tọa độ (x; y) vừa tìm được.
Chú ý:

Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với Ox, ta cho y = 0 thay vào tìm x. (Vì phương trình của Ox là y = 0)

Để tìm giao điểm của đồ thị hàm số với Oy, ta cho x = 0 thay vào tìm y. (Vì phương trình của Oy là x = 0)

Tìm giao điểm của hai đường thẳng y = 3x – 1 và y = x + 5.

Giải:

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm của hai đồ thị :

3x – 1 = x + 5 suy ra x = 3.

Thay vào y = x + 5 = 3 + 5 = 8.

Vậy hai đường thẳng cắt nhau tại điểm có tọa độ (3; 8)

Tìm giao điểm của đồ thị y = 2x – 4 với Ox và Oy.

Giải:

Ta có y = 0 thì 2x – 4 = 0 -> x = 2. Vậy đồ thị đã cho cắt Ox tại điểm (2; 0).

Ta có x = 0 thì y = 2x – 4 = 2.0 – 4 = -4. Vậy đồ thị cắt Oy tại điểm (0; -4).

Tìm m biết đường thẳng y = (2m – 1)x – 2m +2.

a) Cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3.

b) Cắt trục tung tại điểm có tung độ bằng -1.

Giải:

a) Đồ thị cắt trục hoành tại điểm có hoành độ bằng 3 tức là đi qua điểm (3; 0).

Ta thay x = 3, y = 0 vào phương trình của đồ thị đã cho để tìm m.

Ta có: 0 = (2m -1 ).3 – 2m + 2 suy ra m = 1/4.

b) Tương tự ta thay x = 0, y = -1 vào phương trình của đồ thị ta được

-1 = (2m – 1).0 – 2m + 2 suy ra m = 3/2.

Xem thêm: Chuyên đề ôn Hàm số và đồ thị

Dạng 2: Tìm m để hai đường thẳng song song, cắt nhau, trùng nhau

Xét bài toán tìm m để đường thẳng y = mx + 3 song song với đường thẳng y = -3x + 5 ?

Ta nhớ rằng:

Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi a = a’ và b khác b’.

Ta thấy b = 3 khác b’ = 5 rồi.

Vì thế để y = mx + 3 song song với y = -3x + 5 thì chỉ cần m = -3.

Ví dụ 5.

Cho hai đường thẳng (d): y = -x + m + 2 và (d’): y =(m² – 2)x + 3. Tìm m để (d) và (d’)

a) song song với nhau.

b) cắt nhau.

Giải:

Nhớ rằng Hai đường thẳng song song khi và chỉ khi a = a’ và b khác b’. 

Điều kiện để hai đường thẳng song song là 

m² – 2 = -1 và m + 2 ≠ 3 

Ta giải m² – 2 = -1 ⇔ m²  = -1 + 2 = 1 ⇔ m = ± 1.

m + 2 ≠ 3 ⇔ m ≠ 1.

Vậy m = – 1 thì d // d’.

b) Điều kiện để hai đường thẳng cắt nhau là m² – 2 ≠ -1 

suy ra m²  ≠  1 nên  m ≠ ± 1.

Vậy m ≠ ± 1 thì d cắt d’.

Xem thêm: trang web về toán cấp 2 Toán 9

Tổng hợp các dạng bài toán 9