Toán 9 – Hàm số bậc nhất

Sau khi đã nhắc lại và bổ sung khái niệm hàm số ở bài trước, ta sẽ đi sâu vào hàm số bậc nhất ở bài này.

Bài viết sẽ tóm lược lại cho bạn những kiến thức cần nhớ về hàm số bậc nhất và tính chất của nó cũng như các dạng bài tập liên quan.

Xem thêm:

Chuyên đề Hàm số và đồ thị

Trang Toán 9 – tất cả các nội dung Toán 9 đại số và hình học

Trước hết ta đi trả lời câu hỏi Hàm số bậc nhất là gì?

Hàm số bậc nhất

Là hàm số được cho bởi công thức y = ax + b trong đó a, b là hai số đã cho và a khác 0.

Các ví dụ về hàm số bậc nhất:

y = 3x + 4 trong đó a = 3, b = 4

y = -5x trong đó a = -5, b = 0

y = x -3/4 trong đó a = 1, b = -3/4

Các tính chất của hàm số một bậc nhất

Tính chất 1.

Hàm bậc nhất xác định với mọi giá trị của x thuộc R.

Tính chất 2.

Hàm bậc nhất đồng biến trên R khi a > 0, nghịch biến trên R khi a < 0.

Ta thấy rằng, tất cả các hàm số bậc nhất đều xác định với mọi số thực x nên ta không cần để ý đến điều kiện xác định của hàm bậc nhất.

Và khi xét tính đồng biến và nghịch biến của hàm bậc nhất thì ta quan tâm đến hệ số a.

Các dạng bài tập về hàm bậc nhất

Dạng 1. Nhận dạng hàm bậc nhất

Cách giải: Ta dựa vào định nghĩa hàm bậc nhất, tức là hệ số a và b, trong đó a phải khác 0 và x bậc nhất.

Hãy xét xem trong các hàm sau, đâu là hàm số bậc nhất?

Giải.

Các hàm bậc nhất là:

a) hàm có dạng y = ax + b = 1/2 x trong đó a=1/2, b = 0

c) hàm có dạng y = 3/5 x – 4/5 trong đó a = 3/5, b= -4/5

d) ta viết lại hàm số dưới dạng:

y = (x+1)(x – 2) – x² = x² – x – 2 – x² = -x – 2

Vậy hàm số trên có dạng y = ax + b với a = -1, b = -2

f) y = -x + 4 có dạng y = ax + b trong đó a = -1, b = 4

Tìm m để các hàm số sau là hàm số bậc nhất:

Giải.

a) Để là hàm số bậc nhất thì hàm cần có dạng y = ax + b với a khác 0.

Trong hàm trên, a = 2m² – 6  và b = – m – 5.

Vì thế để hàm trên là hàm một biến, 2m² – 6 ≠ 0 suy ra m² ≠ 3 hay m ≠ ±√3

b) Hàm y = (2 + m)x² – 8x + 7 là hàm bậc nhất khi hệ số của x² bị triệt tiêu tức là bằng 0. 

Giải 2 + m = 0 suy ra m = -2

Dạng 2. Xét tính đồng biến, nghịch biến của hàm bậc nhất

Các hàm số bậc nhất sau đồng biến hay nghịch biến? Vì sao?

Giải.

a) Hàm số nghịch biến vì a = -9 < 0

b) Hàm số đồng biến vì a = 4/7 > 0

c) Ta viết lại công thức hàm số này về dạng:

y = 3(2x – 1) – 4x + 1 = 6x – 3 – 4x + 1 = 2x – 2

vậy a = 2 > 0 nên hàm số trên đồng biến

d) Ta viết lại công thức hàm số trên về dạng:

y = (2x – 1)² – 4x(x + 1) = 4x² – 4x + 1 – 4x² – 4x = -8x + 1

vậy a = -8 < 0 nên hàm số đang xét nghịch biến

Tìm m để các hàm số

Giải.

a) Hàm số đồng biến trên R khi 2m – 5 > 0 suy ra m > 5/2

b) Hàm nghịch biến trên R khi 4m² – 9 < 0 suy ra m² < 9/4 

Ta giải m² < 9/4 ⇔ m² – 9/4 < 0 ⇔ (m – 3/2)(m + 3/2) < 0 

Tích hai số nhỏ hơn 0 tức là hai số trái dấu. Như vậy ta có hai trường hợp xảy ra:

TH1: m – 3/2 < 0 và m + 3/2 > 0 ta suy ra -3/2 < m < 3/2 (thỏa mãn)

TH2: m – 3/2 > 0 và m + 3/2 < 0 ta suy ra m > 3/2 và m < -3/2 thì không có m nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên nên loại.

Vậy để hàm số đã cho nghịch biến trên R thì -3/2 < m < 3/2.

c) Hàm số nghịch biến trên R khi 

d) Hàm số đồng biến trên R khi 

Tương tự ta xét hai trường hợp để tích hai số là số dương:

TH1: Cả hai số đều dương tức là √3 – m > 0 và √3 + m > 0 suy ra -√3 < m < √3. (thỏa mãn)

TH2: Cả hai đều là số âm tức là  √3 – m < 0 và √3 + m < 0 suy ra m > √3 và m <–√3. Tuy nhiên không có m nào thỏa mãn cả hai điều kiện trên nên ta loại trường hợp này.

Vậy hàm số đã cho đồng biến trên R khi -√3 < m < √3.

Xem thêm:

Chuyên đề Hàm số và đồ thị

Trang Toán 9 – tổng hợp tất cả các nội dung Toán 9 đại số và hình học

Toán cấp 2

Nếu có thắc mắc cần giải đáp phần này bạn hãy bình luận phía dưới để được trả lời sớm nhất có thể nhé!

Chúc bạn học tốt!