Dạng 3: Giải phương trình và hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Bài viết sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về phương trình bậc nhất hai ẩn và các dạng bài tập ôn thi vào 10 cùng phương pháp giải qua các ví dụ cụ thể, chi tiết.

Kiến thức ôn thi vào lớp 10 môn toán

Phương trình bậc nhất hai ẩn

Đây là phương trình dạng ax + by =c trong đó x là ẩn; a, b, c là các số cho trước, a và b không đồng thời bằng 0.

Công thức nghiệm tổng quát:

Chú ý: Phương trình ax + by = c có nghiệm nguyên khi và chỉ khi c chia hết cho ƯCLN(a,b)

Ví dụ:

Giải:

a) Xét 3x – 2y = 6.

                           <———— Chuyển vế để viết y theo x

Công thức nghiệm tổng quát của phương trình (1) là:

Hệ phương trình bậc nhất hai ẩn

Trong đó, a và b cũng như a’ và b’ không đồng thời bằng 0.

Với a’b’c’ = 0 ta dễ dàng đưa về các trường hợp đã biết.

Với a’b’c’ ≠ 0 thì:

– Hệ (I) có nghiệm duy nhất khi

– Hệ (I) vô nghiệm khi

– Hệ (I) có vô số nghiệm khi

Các phương pháp giải hệ phương trình

a) Phương pháp thế

Ví dụ: Giải hệ phương trình 

Từ (1) : x = 19 + 5y (3) <———–ta rút x từ một phương trình

Thế x = 19 + 5y vào phương trình (2): <——-thay vào phương trình còn lại

3(19 + 5y) + 2y = 6

⇔ 57 + 15y + 2y = 6

⇔ 17y  = -51 ⇔ y = -3.

Thay y = -3 vào phương trình (3) được x = 19 − 15 = 4.    <—- thay kết quả của y vừa tìm được để tính ra nghiệm x 

Vậy <—– Kết luận nghiệm x = …, y = …..

b) Phương pháp cộng đại số

Ví dụ: Giải hệ phương trình 

Nhân vào hai vế của mỗi phương trình với một thừa số phụ phù hợp

Dùng quy tắc cộng đại số (ta cộng hoặc trừ từng vế của hai phương trình để triệt tiêu một ẩn)

Thay y = -3 vào (1) được: x − 5.(−3) = 19. Suy ra x = 4.

Vậy,

Như vậy, ta đã cùng tổng hợp lại các Kiến thức ôn thi vào lớp 10 môn toán về phần giải phương trình, hệ phương trình bậc nhất hai ẩn. Sau đây, chúng ta cùng giải một số bài trong bài thi tuyển sinh vào lớp 10 môn toán năm trước nhé!

Bài tập trong đề thi vào 10

Bài 1.

Không sử dụng máy tính, giải hệ phương trình :

Giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (2; 1).

Bài 2.

Giải hệ phương trình:

Giải:

Vậy hệ phương trình có nghiệm duy nhất (x; y) = (5; 3)

Bài 3.

Giải hệ phương trình

Giải:

Điều kiện: y ≠ −1

Hệ phương trình có dạng

Vậy hệ phương trình đã cho có nghiệm:

Bài 4.

Giải hệ phương trình

Giải:

(2) ⇔ x² + xy − 2y − 4x + 4 = 0

⇔ x² − 4x + 4 + xy − 2y = 0

⇔ ( x − 2)² + y(x − 2) = 0

⇔ (x − 2)(x − 2 + y) = 0

+) Thay x = 2 vào phương trình (1) ta được:

4 − 2y + y − 7 = 0

⇒ y = −3

+) Thay x = 2 − y vào phương trình (1) ta được:

(2 − y)² − (2 − y)y + y − 7 = 0

⇔ 4 −  4y + y² − 2y + y² + y − 7 = 0

⇔ 2y² − 5y − 3 = 0

Phương trình 2y² − 5y − 3 = 0 có

Ta có

Vậy hệ phương trình có nghiệm

Xem thêm:

Ôn thi vào lớp 10 môn Toán