Ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 4: Phương trình bậc hai một ẩn

by Dung Nguyễn Thùy | category Ôn thi vào lớp 10 môn Toán | Không có bình luận

Bài viết sẽ cung cấp kiến thức cơ bản về dạng bài về phương trình bậc hai một ẩn trong ôn thi vào 10 môn Toán với các ví dụ cụ thể, chi tiết.

Mục lục

Kiến thức ôn thi vào 10 môn toán

#1. Phương trình bậc hai một ẩn

Phương trình bậc hai một ẩn là phương trình có dạng:

$ax^{2}+bx+c=0$

trong đó x là ẩn; a, b, c là những số cho trước và a ≠0.

Công thức nghiệm:

Ví dụ: Giải phương trình 2x² – 5x -7 = 0.

Giải: Δ = b² – 4ac = 25 +56 = 81 ; căn bậc hai của Δ = 9.

Do đó:

$x_1=\frac{5+9}{4}=\frac{7}{2};x_2=\frac{5-9}{4}=-1$

#2. Hệ thức Vi-ét và ứng dụng

Nếu $\inline x_{1},x_2$ là hai nghiệm của phương trình $ax^{2}+bx+c=0(a\neq 0)$ thì

Đảo lại, nếu có hai số $\inline x_{1},x_2$ mà

thì $\inline x_{1},x_2$ là các nghiệm của phương trình $x^{2}-Sx+P=0.$

Áp dụng:

(1) Nhẩm nghiệm của phương trình bậc hai một ẩn:

Nếu a+b +c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = 1 và x2 = c/a.

Nếu a – b + c = 0 thì phương trình có nghiệm x1 = -1 và x2 = -c/a.

Ví dụ: Giải phương trình

2x² – 5x -7 = 0.

Giải: Ta có a – b + c = 2 + 5 – 7 = 0 nên

$x_{1}=-1;x_2=\frac{-c}{a}=\frac{7}{2}$

(2) Tính giá trị của biểu thức đối xứng các nghiệm và xét dấu các nghiệm mà không cần giải phương trình (nếu phương trình có nghiệm) :

Ví dụ: Cho phương trình

$x^2-2(m+2)x+4m=0$ (1)

a) Chứng minh rằng phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m;

b) Tính theo tham số m giá trị của biểu thức

$A=\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2};$ c) Tìm một hệ thức liên hệ giữa $x_1, x_2$ không phụ thuộc vào m.

Giải: a) Xét biệt thức Δ’ của phương trình (1):

Δ’ = b’² – ac = [-(m+2)]² -4m = m² + 4 > 0 với mọi giá trị của m.

Vậy phương trình (1) luôn có hai nghiệm phân biệt với mọi giá trị của m.

b) Theo hệ thức Vi-ét, ta có:

Do đó $x_1^2+x_2^2=(x_1+x_2)^2-2x_1x_2=4(m+2)^2-8m=4m^2+8m+16$

Ta có $\frac{1}{x_1^2}+\frac{1}{x_2^2}=\frac{x_1^2+x_2^2}{(x_1x_2)^2}=\frac{4m^2+8m+16}{16m^2}=\frac{m^2+2m+4}{4m^2}$

c) Để viết được hệ thức liên hệ giữa hai nghiệm mà không phụ thuộc vào m, ta làm theo hai bước:

Theo hệ thức Vi-ét viết các hệ thức S và P theo m ( tính tổng và tích các nghiệm theo m)
Dùng quy tắc cộng hoặc thế để khử m.

Ta có:

Như vậy, ta có thể lấy hệ thức trên trừ đi dưới và được:

#3. Giải phương trình quy về phương trình bậc hai

Cách 1: Đưa về phương trình tích

Dùng phương pháp phân tích đa thức thành nhân tử để đưa về phương trình tích.

$x^4+10x^3+35x^2+50x=0$

$\Leftrightarrow x(x^3+10x^2+35x+50)=0$

$\Leftrightarrow x(x+5)(x^2+5x+10)=0$

x = 0 hoặc

x = -5 hoặc

x² + 5x +10 = 0 ( vô nghiệm)

Vậy phương trình có tập nghiệm S = {0; -5}.

Cách 2: Đặt ẩn phụ

Ví dụ: Giải phương trình

$4x^{4}-3x^{2}-1=0$

Đặt x² = t ≥ 0 ta được phương trình 4t² – 3t – 1 = 0.

Vì a + b + c = 0 nên

$t_1=1; t_2=\frac{-1}{4}$ (loại)

Do đó x² = 1, suy ra x = ± 1.

#4. Giải phương trình chứa ẩn trong dấu giá trị tuyệt đối

Ta có thể khử dấu giá trị tuyệt đối bằng hai cách:

Cách 1: Xét dấu của biểu thức trong dấu giá trị tuyệt đối

Cách 2: Bình phương hai vế của phương trình.

Ví dụ: Giải phương trình

$|x^2-x+1|-|x-2|=6 (1)$

Giải:

Ta có $\inline x^2-x+1=(x-\frac{1}{2})^2+\frac{3}{4}>0$ nên $|x^2-x+1|=x^2-x+1$

Khi đó (1) trở thành $x^2-x+1-|x-2|=6. (2)$

TH1: Nếu x ≥ 2 thì x – 2 ≥ 0, |x – 2| = x – 2

Phương trình (2) trở thành: x² − x + 1 − ( x − 2) = 6 hay x² − 2x − 3 = 0.

Vì a − b + c = 0 nên (2) có nghiệm x = -1 (không thuộc khoảng đang xét-> loại) và x = 3 (thuộc khoảng đang xét->thoả mãn)

TH2: Nếu x < 2 thì x − 2 < 0, |x −2| = 2 − x

Phương trình (2) trở thành: x² − x + 1 − ( 2 − x) = 6 hay x² = 7.

Suy ra $x_1=\sqrt{7}>2$ (không thuộc khoảng đang xét -> loại)

và $x_2=-\sqrt{7}<2$ ( thuộc khoảng đang xét -> thoả mãn)

Kết luận: Vậy tập hợp nghiệm của phương trình (1) là S = {3; √7}

Trong quá trình ôn thi vào 10 môn toán, các em sẽ rất hay gặp dạng bài tập liên quan giải phương trình bậc hai và áp dụng định lí Vi-ét để nhẩm nghiệm hoặc tính giá trị các biểu thức đối xứng, xét dấu các nghiệm, tìm điều kiện để phương trình có nghiệm âm, dương, …

Vì thế, chúng ta cần nắm chắc các kiến thức trên và áp dụng linh hoạt vào giải bài tập.

Xem thêm:

Hướng dẫn ôn thi vào lớp 10 môn Toán – Dạng 1: Rút gọn và tính giá trị biểu thức

Cách giải bài toán bằng cách lập phương trình – Toán lớp 9

Tags:Giải phương trình, toán 9

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.