Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Ở phần trước ta đã học cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Descartes (Đề-các), ở phần này ta sẽ học cách đổi tích phân kép sang hệ tọa độ cực để tính dễ dàng hơn đối với tích phân kép trên miền có dạng hình tròn, hình quạt,…

Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Trong hệ tọa độ Descartes, ta dùng các biến x,y.

Còn trong hệ tọa độ cực, ta dùng các biến r và φ (phi).

Chuyển tọa độ từ Đề-các sang tọa độ cực cũng như thực hiện một phép đổi biến với Jacobi = r.

Công thức liên hệ giữa tạo độ Descartes (x,y) và tọa đô cực (r, φ) của cùng một điểm là:

x = rcosφ;  y = rsinφ; |J| = r   

Từ công thức đổi biến số, ta có:

Tóm lại muốn chuyển tích phân kép từ hệ tọa độ Decarte sang hệ tọa độ cực, ta thay x và y trong hàm số dưới dấu tích phân bởi , đồng thời cũng phải đổi phương trình đường cong của giới hạn miền lấy tích phân D sang hệ tọa độ cực.

Sau đó tính hoàn toàn giống như trong hệ tọa độ Decarte, nghĩa là cũng đưa về hai tích phân xác định liên tiếp đối với các biến r và φ.

Chú ý:

• Đổi biến trong tọa độ cực thường được dùng khi biên D là đường tròn hoặc một phần đường tròn.
• Ta thay x = rcosφ;  y = rsinφ vào phương trình để tìm r1(φ) và r2(φ).

Các trường hợp riêng:

1/ Nếu O nằm trong miền D thì 0 ≤φ≤ 2π.

2/ Nếu O nằm ở biên D thì ta kẻ các tia từ gốc cực O và tiếp xúc với biên của miền D để tìm khoảng biến thiên của góc φ:

Bây giờ ta xét các ví dụ để hiểu rõ hơn về đổi tích phân sang hệ tọa độ cực nhé.

Ví dụ Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

Ví dụ 1.

Chuyển tích phân kép

từ tọa độ Decarte sang hệ tọa độ cực, trong đó D là miền giới hạn bởi

Hướng dẫn giải:

a) Ta đổi sang tọa độ cực:

Đặt x = rcosφ;  y = rsinφ

phương trình đường tròn x² + y² = 4 trở thành (rcosφ)² +  (rsinφ)² = 4 

suy ra r²(cos²φ + sin²φ) = 4 

suy ra r² = 4 ⇒ r = 2.

Gốc O nằm trong miền D nên ta có:

0 ≤ r ≤ 2 và 0 ≤ φ ≤ 2π; |J| = r

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

b) Ta có đường tròn x² + y² = 2x ⇔ x² – 2x + 1 + y² = 1 hay (x – 1)² + y² = 1.

Ta có hình vẽ miền D là hình tròn tâm (1;0).

Đặt x = rcosφ;  y = rsinφ, phương trình đường tròn x² + y² = 2x trở thành

r²(cos²φ + sin²φ) = 2rcosφ hay r² = 2rcosφ ⇔ r = 2cosφ

Gốc O nằm trên biên miền D, nên ta có:

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

c) Ta có đường tròn x² + y² = 2y ⇔ x² + y² – 2y + 1 = 1 hay x² + (y – 1)² = 1.

Ta có hình vẽ miền D là hình tròn tâm (0;1).

Đặt x = rcosφ;  y = rsinφ, phương trình đường tròn x² + y² = 2y trở thành

r²(cos²φ + sin²φ) = 2rsinφ hay r² = 2rsinφ ⇔ r = 2sinφ

Vì gốc O nằm trên biên của miền D nên ta có:

0 ≤ φ ≤ π và 0 ≤ r ≤ 2sinφ; |J| = r

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực là

d) Ta đổi sang tọa độ cực, phương trình các đường biên của miền D có dạng

Vì gốc O nằm ngoài miền D nên ta có:

-π /4 ≤ φ ≤ π/4 và 2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ; |J| = r

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực là

Ví dụ 2. Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

với miền D là một phần tư hình tròn đơn vị nằm ở góc phần tư thứ nhất.

Hướng dẫn giải:

Phương trình đường tròn đơn vị là x² + y² = 1.

Ta đổi sang tọa độ cực:

Đặt x = rcosφ;  y = rsinφ, |J| = r ta có:

O nằm trên biên của miền D nên ta có:

0 ≤ r ≤ 1 và 0 ≤ φ ≤ π/2

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực là

Ví dụ 3: Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

với miền D được giới hạn bởi các đường x² + y² = 2x,  x² + y² = 4x, y = x, y = 0.

Hướng dẫn giải:

Ta có hình vẽ miền D như trên.

Đổi sang tọa độ cực:

Đặt x = rcosφ;  y = rsinφ ; |J| = r.

Phương trình các đường biên của miền D có dạng:

Vậy ta có:

2cosφ ≤ r ≤ 4cosφ và 0 ≤ φ ≤ π/4

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực là:

Ví dụ 4: Tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực

với D là miền giới hạn bởi cung tròn

và trục Ox.

Hướng dẫn giải:

Hình vẽ miền D như sau:

Đổi sang tọa độ cực, phương trình cung tròn

có dạng

Gốc O nằm trên biên miền D nên ta có:

0 ≤ r ≤ 2cos φ và 0 ≤ φ ≤ π/2

Thay x = rcosφ;  y = rsinφ vào hàm số dưới dấu tích phân, ta có:

còn dxdy = rdrdφ.

Ta có công thức tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực là:

Trước hết tính

bằng cách đổi biến số: đặt t = 4 – r², dt = -2rdr => rdr = -dt/2

Vậy ta có:

Ta có:

Vậy là qua các ví dụ trên, ta có thể nắm được cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ cực rồi.

Nhưng tôi muốn các bạn chú ý những lỗi sai hay mắc phải khi tính tích phân kép trên hệ tọa độ cực:

1/ Vẽ miền D không chính xác.

Để khắc phục bạn cần vẽ tất cả các đường giới hạn miền D và xác định chính xác tất cả các điểm giao cắt của chúng.

2/ Thiếu |J| = r khi thay dxdy.

Trước khi thay vào công thức tích phân tính, bạn viết lại dxdy = rdrdφ.

3/ Xác định sai hoặc không biết cách xác định khoảng biến thiên của r và φ.

Bạn xem gốc O nằm trên miền D hay nằm trên biên của miền D.

Quay trở lại xem hai trường hợp ở phần lý thuyết để xác định r và φ chạy từ đâu đến đâu.

Chúc các bạn học tốt!

Tính tích phân trên máy tính tại đây

Xem tiếp

Cách tính tích phân kép trong hệ tọa độ Đề-các

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ Descartes

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ trụ

Tính tích phân 3 lớp trong hệ tọa độ cầu