Toán 9 – Đồ thị hàm số bậc nhất

by Dung Nguyễn Thùy | category Học Toán 9 | Không có bình luận

Bài viết cô sẽ hướng dẫn bạn cách vẽ đồ thị hàm số bậc nhất một cách đơn giản và chính xác nhất, và giới thiệu cách giải các dạng bài liên quan tới đồ thị hàm bậc nhất.

Cách vẽ đồ thị hàm số
Các dạng bài cơ bản về đồ thị hàm số bậc nhất:
1. Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất
2. Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng
3. Xét tính đồng quy của ba đường thẳng
4. Tính khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng không đi qua O
5. Tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số

Nếu như ở bài trước bạn đã nắm được thế nào là hàm số bậc nhất thì ở bài này ta sẽ học cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất. Điều bạn cần nhớ đầu tiên là:

Mục lục

Đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng

Đồ thị của hàm số y = ax + b (a khác 0) là tập hợp các điểm trên tọa độ Oxy thỏa mãn phương trình y = ax + b.

Kí hiệu:

Đường thẳng d: y = ax + b

Cách vẽ đồ thị của hàm số bậc nhất

Vì đồ thị của hàm bậc nhất là một đường thẳng nên ta chỉ cần tìm hai điểm thỏa mãn phương trình y = ax + b rồi nối chúng lại là xong.

1. Cách tìm điểm thỏa mãn hàm số bậc nhất y = ax + b:

Ta thay x = số rồi tính ra y thì sẽ tìm được 1 điểm.
Ta có thể chọn các điểm đơn giản như x = 0 suy ra y = b, ta được điểm (x, b), x = 1 suy ra y = a + b thì ta được điểm (1, a+b).
Cho y = 0 thì x = -b/a ta được điểm (-b/a, 0)

2. Sau đó ta nối hai điểm lại thành một đường thẳng.

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất sau: y = 3x + 4.

Giải:

Trước tiên ta tìm hai điểm tọa độ (x,y) thỏa mãn y = 3x + 4.

Ta cho x = 0 thì y = 4.0 + 4 = 4, ta được điểm (0, 4).

Ta cho x = 1 thì y = 3.1 + 4 = 7, ta được điểm (1, 7).

Xác định hai điểm vừa tìm được trên hệ trục tọa độ rồi ta nối chúng lại là xong.

Chú ý rằng : y = 3x + 4 có a = 3 > 0 thì đồ thị có hướng lên trên từ trái sang phải.

Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất sau: y = -2x + 1.

Giải.

Ta chọn 2 điểm thỏa mãn y = -2x + 1:

+ Cho x = 0 suy ra y = 1, ta có điểm (0, 1).

+ Cho x = 1 suy ra y = -2 + 1 = -1, ta có điểm (1, -1).

Sau đó ta nối hai điểm trên:

Chú ý rằng : y = -2x + 1 có a = -2 < 0 thì đồ thị có hướng từ trên xuống dưới trên từ trái sang phải.

Các dạng bài tập về đồ thị hàm số bậc nhất

Dạng 1: Vẽ đồ thị hàm số bậc nhất

Vẽ các đồ thị hàm số bậc nhất sau trên cùng một mặt phẳng tọa độ:

y = 2x + 1 và y = x + 3

Giải.

Ta thực hiện hai bước như trên cô hướng dẫn:

+ Tìm 2 điểm thỏa mãn y = 2x + 1 rồi nối chúng lại. Ta được đường màu tím.

+ Tìm 2 điểm thỏa mãn y = x + 3 rồi nối chúng lại. Ta được đường màu xanh.

Như ta thấy, hai đồ thị của hai hàm số trên cắt nhau tại một điểm (gọi là giao điểm).

Vậy làm thế nào để tìm được tọa độ của giao điểm đó.

Ta sẽ sang dạng thứ 2 ngay sau đây.

Dạng 2: Tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng.

Ta biết rằng đường thẳng là đồ thị hàm số bậc nhất nên để tìm giao điểm của hai đường thẳng ta có cách làm sau:

Phương pháp giải: Cho 2 đường thẳng d: y = ax + b và d’: y = a’x + b’. Để tìm tọa độ giao điểm của d và d’ ta làm như sau:

Dùng phương pháp đại số:

#1. Giải phương trình hoành độ giao điểm của d và d’: ax + b = a’x + b’ để tìm x.

#2. Từ x thu được ta thay vào phương trình của d (hoặc d’) để tìm y.

#3. Kết luận tọa độ giao điểm của d và d’ là điểm (x, y) vừa tìm được.

Bây giờ, ta sẽ tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng d: y = 2x + 1 và d’: y = x + 3 ở ví dụ 3 phần trước.

Ta sẽ thực hiện như sau:

Xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’:

2x + 1 = x + 3

⇔ 2x – x = 3 – 1 (chuyển vế đổi dấu)

⇔ x = 2

Ta thay x = 2 vào phương trình của d: y = 2x + 1 = 2.2 + 1 = 5.

Kết luận: Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là (2, 5).

Ví dụ 4.

Tìm tọa độ giao điểm của các đường thẳng

$y=\frac{-1}{2}x+1$ (d)

$y=-x+2$ (d’)

Giải.

Ta xét phương trình hoành độ giao điểm của d và d’ là

Ta thay x = 2 vào phương trình của d’ ta được: y = -x +2 =-2 + 2 = 0.

Kết luận: Vậy tọa độ giao điểm của d và d’ là (2, 0).

Trên đây là dạng tìm giao điểm của hai đồ thị hàm số bậc nhất, tiếp theo đây là giao của 3 đồ thị hàm số bậc nhất.

Dạng 3: Xét tính đồng quy của ba đường thẳng

Ba đường thẳng đồng quy là 3 đường thẳng phân biệt cùng đi qua một điểm.

Để xét xem 3 đường thẳng đã cho có đồng quy không ta làm như sau:

Phương pháp giải:

#1. Tìm tọa độ giao điểm của hai trong 3 đường đã cho.

#2. Thay tọa độ giao điểm vừa tìm được vào phương trình đường còn lại.

Nếu điểm đó thuộc đường còn lại thì kết luận ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Ví dụ 5.

Cho 3 đường thẳng:

Chứng minh 3 đường thẳng đã cho đồng quy.

(Sách củng cố và ôn luyện Toán 9)

Giải.

Ta sẽ tìm giao điểm của hai trong ba đường đã cho. Ví dụ ta chọn $d_2$ và $d_3$ .

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d_2$ và $d_3$ :

3x – 1 = x + 3

⇔ 3x – x = 3 + 1

⇔ 2x = 4

⇔ x = 2

Thay x = 2 vào phương trình của $d_3$ ta tính được y = x + 3 = 2 + 3 = 5.

Vậy tọa độ giao điểm của $d_2$ và $d_3$ là (2, 5).

Thay x = 2 vào phương trình đường thẳng $d_1$ ta được:

y = 4x – 3 = 4.2 – 3 = 8 – 3 = 5. Suy ra điểm (2,5) thuộc $d_1$ .

Kết luận: Vậy 3 đường thẳng đã cho đồng quy.

Ví dụ 6.

Cho ba đường thẳng:

Tìm m để ba đường thẳng $d_1,d_2,d_3$ đồng quy.

(Sách củng cố và ôn luyện Toán 9)

Giải.

Phương pháp vẫn là tìm tọa độ giao điểm của $d_1,d_2$ rồi thay vào phương trình của $d_3$ để tìm m.

Ta chọn tìm giao điểm của $d_1,d_2$ vì chúng có phương trình không chứa tham số m.

Xét phương trình hoành độ giao điểm của $d_1,d_2$ :

x – 4 = 2x + 3

⇔ x – 2x = 3 + 4

⇔ -x = 7 ⇔ x = -7.

Thay x = -7 vào phương trình $d_1$ : y = x – 4 = -7 – 4 = -11.

Vậy tọa độ giao điểm của $d_1,d_2$ là (-7, -11).

Để 3 đường thẳng đã cho đồng quy thì tọa độ giao điểm của $d_1,d_2$ phải thỏa mãn phương trình $d_3$ .

Thay tọa độ vừa tìm được vào phương trình $d_3$ . Ta có:

-11 = -7m + m + 1

⇔ -11 -1 = -6m

⇔ 6m = 12

⇔ m = 2.

Kết luận: Nếu m = 2 thì ba đường thẳng đã cho đồng quy.

Tiếp theo ta sang dạng bài liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất, đó là tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến một đường thẳng không đi qua O

Dạng 4. Tính khoảng cách từ gốc O đến đường thẳng (không qua O)

Phương pháp giải:

Để tính khoảng cách từ O đến đường thẳng d (không qua O) ta làm như sau:

#1. Tìm giao điểm của d với Oy và Ox lần lượt là A và B.

#2. Gọi H là hình chiếu của O trên d. Khi đó ta cần tính OH (chính là khoảng cách từ O đến d).

Áp dụng hệ thức lượng trong tam giác vuông, ta có

\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{OA^2}+\frac{1}{OB^2}

Ví dụ 7.

Trong hệ trục tọa độ Oxy, cho đường thẳng d: y = 2x + 5. Hãy tính khoảng cách từ gốc tọa độ O đến d.

Giải.

Đầu tiên ta vẽ đồ thị hàm số bậc nhất y = 2x + 5 tức là đường thẳng d.

Điểm A là giao của d với Oy nên x = 0 và y = 2x + 5 = 2.0 + 5 = 5, vậy A(0,5)

Điểm B là giao của d với Ox nên y = 0 và 0 = 2x + 5 suy ra x = -5/2, vậy B(-5/2, 0)

Suy ra OA = 5, OB = 5/2. Gọi H là hình chiếu của O trên d. Ta tính OH dựa vào hệ thức lượng:

\frac{1}{OH^2}=\frac{1}{5^2}+\frac{1}{2,5^2}=\frac{1}{5}

suy ra OH² = 5 ⇒ OH = √5.

Dạng bài tiếp theo liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất, đó là tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số.

Tức là tìm tọa độ của điểm mà đồ thị hàm số bậc nhất luôn đi qua với mọi giá trị của tham số.

Dạng 5. Tìm điểm cố định của đường thẳng phụ thuộc tham số

Phương pháp giải:

Cho đường thẳng d: y = ax + b phụ thuộc tham số m.

Muốn tìm điểm cố định của đường thẳng d ta làm như sau:

#1. Gọi điểm cố định của d là F có tọa độ (x’, y’) suy ra y’ = ax’ + b với mọi m.

#2. Biến đổi y’ = ax’ + b về dạng hàm số bậc nhất hoặc bậc hai theo biến m.

Cho các hệ số của biến m bằng 0 rồi giải ra x’ và y’.

Ví dụ 8.

Cho đường thẳng d: y = (2m+1)x – 3m +1 với m là tham số.

Hãy tìm điểm cố định mà d luôn đi qua với mọi m.

Giải.

Gọi điểm cố định của d là F có tọa độ (x’, y’), ta có: y’ = (2m + 1)x’ – 3m + 1 với mọi m.

Ta viết lại như sau:

(2m + 1)x’ – 3m + 1 – y’ = 0 với mọi m

⇔ 2mx’ + x’ – 3m + 1 – y’ = 0 với mọi m

⇔ m(2x’ -3) + x’ +1 – y’ = 0 với mọi m <<< Đặt m làm nhân tử chung

⇔ 2x’ – 3 = 0 và x’ + 1 – y’ = 0 >>> Giải hai phương trình tìm x’ và y’.

⇔ x’ = 3/2 và y’ = x’ + 1 = 3/2 + 1 = 5/2

Vậy tọa độ điểm cố định của đường thẳng d là F(3/2, 5/2).

Trên đây cô đã hướng dẫn các em các dạng toán đơn giản liên quan đến đồ thị hàm số bậc nhất, ngoài ra còn có hai dạng nâng cao hơn về đồ thị hàm số bậc nhất thì cô sẽ cập nhật sau đó là:

Tìm tham số m sao cho khoảng cách từ gốc tọa độ O đến đường thẳng cho trước là lớn nhất.
Tìm tham số m sao cho đường thẳng cắt hai trục tọa độ tại hai điểm phân biệt tạo thành một tam giác thỏa mãn điều kiện cho trước.

Như vậy, nhắc đến đường thẳng (đồ thị hàm số bậc nhất) thì ta sẽ sử dụng trực tiếp phương trình của hàm số bậc nhất một ẩn để giải các bài toán liên quan.

Đồ thị hàm số bậc nhất là một khái niệm cực kì quan trọng và cơ bản để chúng ta giải các bài toán về hàm số trong thi tuyển lớp 10. Vì thế chúng ta cần ôn luyện thật tốt về đồ thị hàm số bậc nhất, theo đó chuẩn bị kiến thức học về đồ thị hàm số bậc hai ở kì sau.

Xem thêm:

Tổng hợp các kiến thức Toán 9

Học Toán tiếng Anh phần này tại đây

Tags:cách giải toán 9, cách vẽ đồ thị bậc nhất, đồ thị hàm số bậc nhất, hàm số bậc nhất, tìm tọa độ giao điểm của hai đường thẳng, toán 9

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.