Chuỗi số – Chuỗi số dương

Trong bài viết sau, ta sẽ đi sâu vào định nghĩa các khái niệm cơ bản về chuỗi số và cách tính tổng chuỗi, cách xác định sự hội tụ hay phân kỳ của một chuỗi số dương.

Xem thêm:

Định nghĩa Chuỗi số – chuỗi số dương

Như vậy theo định nghĩa, muốn biết một chuỗi là hội tụ hay phân kỳ, ta phải viết được tổng riêng thứ n của chuỗi đó rồi tìm giới hạn của nó.

Nếu giới hạn của tổng riêng thứ n tồn tại hữu hạn khi n tiến đến vô cùng thì chuỗi ta đang xét hội tụ.

Ngược lại, nếu giới hạn của tổng riêng thứ n không tồn tại hoặc bằng vô cùng thì chuỗi ta đang xét phân kỳ.

Bây giờ, ta cùng xét một chuỗi hay gặp đó là chuỗi cấp số nhân, để xem khi nào thì chuỗi cấp số nhân hội tụ, khi nào thì phân kỳ.

Ví dụ 1: Xét sự hội tụ của chuỗi cấp số nhân

Giải:

Ta có tổng riêng thứ n của chuỗi là

Ta chia ra các trường hợp sau:

Tóm lại, ta có kết luận sau:

Vậy chuỗi cấp số nhân hội tụ hay phân kỳ phụ thuộc vào giá trị của q.

Ví dụ: q = 1/2 thì chuỗi hội tụ.

q = 3/2 thì chuỗi phân kỳ.

Hãy ghi nhớ kết quả này để sau này ta vận dụng trong tiêu chuẩn so sánh.

Sau đây là một số chuỗi hay gặp mà các bạn nên nhớ:

Chuỗi số dương : Định nghĩa

Ví dụ: Các chuỗi sau là các chuỗi số dương

Điều kiện cần để chuỗi số hội tụ

Như vậy ta có thể kiểm tra sự hội tụ của một chuỗi bằng cách tính lim của số hạng tổng quát u_n. Nếu lim u_n khác 0 thì chuỗi phân kỳ.

Ví dụ 2: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Bằng cách tính lim số hạng tổng quát, bạn sẽ suy ra chuỗi đã cho phân kỳ do không thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ.

Ví dụ 3: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương

Chuỗi đã cho phân kỳ do không thỏa mãn điều kiện cần để chuỗi hội tụ.

Điều kiện cần chỉ giúp ta nhận ra chuỗi phân kỳ.

Còn đối với các chuỗi số thỏa mãn điều kiện cần, ta có thể sử dụng các định lý so sánh sau để xét sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương.

Tiêu chuẩn so sánh 1

Tiêu chuẩn so sánh thứ nhất tương tự như tiêu chuẩn so sánh của hai tích phân suy rộng loại 1, cụ thể như sau:

Nếu ta tìm được chuỗi có số hạng tổng quát lớn hơn mà hội tụ thì chuỗi ta đang xét cũng hội tụ.

Nếu ta tìm được chuỗi có số hạng tổng quát nhỏ hơn mà phân kỳ thì chuỗi ta đang xét cũng phân kỳ.

Ví dụ 4: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương bằng tiêu chuẩn so sánh 1

Ví dụ 5: Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng tiêu chuẩn so sánh 1

Ví dụ 6: Xét sự hội tụ của chuỗi số tiêu chuẩn so sánh 1

Tiêu chuẩn so sánh 2

Ví dụ 7: Xét sự hội tụ của chuỗi số dương bằng tiêu chuẩn so sánh 2

Ví dụ 8: Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng tiêu chuẩn so sánh 2

Ta viết lại chuỗi số dương đã cho trở thành:

Để kiểm tra kết quả hội tụ và phân kỳ của chuỗi số, các bạn có thể vào đây.

Tiêu chuẩn D’Alembert để xét hội tụ chuỗi số dương

Ví dụ 9: Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng tiêu chuẩn D’Alembert

Vậy chuỗi số đã cho phân kỳ theo tiêu chuẩn D’Alembert.

Tiêu chuẩn Cauchy để xét hội tụ chuỗi số dương

Ví dụ 10: Xét sự hội tụ của chuỗi số bằng tiêu chuẩn Cauchy

Bài viết đã đưa ra định nghĩa chuỗi số, chuỗi số dương và các phương pháp xác định sự hội tụ hay phân kỳ của chuỗi số dương.