Toán 8 – Những hằng đẳng thức đáng nhớ

by Dung Nguyễn Thùy | category Học Toán 8 | Không có bình luận

Những hằng đẳng thức đáng nhớ là gì? Ta áp dụng chúng để giải bài tập như thế nào?

Đó là những đẳng thức đặc biệt và dễ nhớ, nhờ chúng ta sẽ làm bài tập rút gọn hay giải phương trình (tìm x) nhanh hơn, dễ dàng hơn.

Đó cũng là nội dung kiến thức của bài hôm nay, bạn cần chú ý nắm được 7 hằng đằng thức đáng nhớ để áp dụng giải các dạng bài tập.

Mục lục

Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Chứng minh những hằng đẳng thức đáng nhớ

Để chứng minh những hằng đẳng thức đáng nhớ ở trên, ta chỉ cần thực hiện quy tắc nhân đa thức với đa thức như sau:

Phát biểu Những hằng đẳng thức đáng nhớ

1. Bình phương của một tổng bằng bình phương số thứ nhất cộng với hai lần tích số thứ nhân nhân số thứ hai rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A + B)² = A² + 2AB + B²

2. Bình phường của một hiệu bằng bình phương số thứ nhất trừ đi hai lần tích số thứ nhất nhân số thứ 2 rồi cộng với bình phương số thứ hai.

(A − B)² = A² − 2AB + B²

3. Hiệu hai bình phương bằng hiệu hai số đó nhân tổng hai số đó.

A² − B² = (A − B)(A + B)

4. Lập phương của một tổng = lập phương số thứ nhất + 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai + lập phương số thứ hai.
(A + B)³ = A³ + 3A²B + 3AB² + B³

5. Lập phương của một hiệu = lập phương số thứ nhất – 3 lần tích bình phương số thứ nhất nhân số thứ hai + 3 lần tích số thứ nhất nhân bình phương số thứ hai – lập phương số thứ hai.
(A − B)³ = A³ − 3A²B + 3AB² − B³

6. Tổng của hai lập phương bằng tổng hai số đó nhân với bình phương thiếu của hiệu.
A³ + B³ = (A + B)(A² − AB + B²) >>>(thiếu 2)

7. Hiệu của hai lập phương bằng hiệu của hai số đó nhân với bình phương thiếu của tổng.
A³ − B³ = (A − B)(A² + AB + B²) >>>(thiếu 2)

(Nguồn )

Trên đây là những hằng đẳng thức đáng nhớ cơ bản. Hãy cùng làm các ví dụ đơn giản để luyện tập nhé!

Video bài giảng:

Ví dụ về Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Sử dụng Những hằng đẳng thức đáng nhớ để làm các bài sau:

a) Tính (a + 2)²

Ta có (a + 2)² = a² + 2.2.a + 2² = a² + 4a + 4

b) Viết biểu thức x² − 8x + 16 dưới dạng bình phương của một hiệu

x² − 8x + 16 = (x − 4)²

c) Tính nhanh 201²

201² = (200 + 1)² = 200² + 400 + 1 = 40000 + 400 + 1 = 40401

Áp dụng Những hằng đẳng thức đáng nhớ để làm các bài sau:

a) Tính (x − 2)(x + 2)

(x − 2)(x + 2) = x² − 2² = x − 4

b) Tính (x − 2y)(x + 2y)

(x − 2y)(x + 2y) = x² − (2y)² = x² − 4y²

c) Tính nhanh 56.64

56 . 64 = (60 − 4)(60 + 4) = 60² − 4² = 3600 − 16 = 3584

Bài tập SGK Toán 8 tập 1: Những hằng đẳng thức đáng nhớ

Bài 16 SGK Toán 8 tập 1

Viết các biểu thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu :

$a) x^{2}+2x+1$

$b)9x^{2}+y^{2}+6xy$

$c)25a^{2}+4b^{2}-20ab$

$d)x^{2}-x+\frac{1}{4}$

______________________________________________________________

Hướng dẫn giải:

a) Nhìn dạng của biểu thức có phần giống hằng đẳng thức số 1:

$c)25a^{2}+4b^{2}-20ab = (5a-2b)^2$

$d)x^{2}-x+\frac{1}{4}=(x-\frac{1}{2})^2$

Bài 17. SGK Toán 8 tập 1

Chứng minh rằng:

(10a + 5)² = 100a .(a + 1) + 25.

Từ đó em hãy nêu cách tính nhẩm bình phương của một số tự nhiên có tận cùng bằng chữ số 5.

Áp dụng để tính: 25² ; 35² ; 65² ; 75²

______________________________________________________________

Giải:

Để chứng minh ta áp dụng hằng đẳng thức bình phương của một tổng:

(10a + 5)² = 100a² + 2.5.10a + 25 = 100a² + 100a + 25 = 100a(a+1) + 25

Áp dụng để tính: 25² = (10.2 + 5)² = 100.2.3 + 25 = 625;

35² = (10.3 + 5)² = 100.3.4 + 25 = 1225;

65² = (10.6 + 5)² = 100.6.7 + 25 = 4225;

75² = (10.7 + 5)² = 100.7.8 + 25 = 5625.

Bài 18 SGK Toán 8 tập 1

Hãy tìm cách giúp bạn An khôi phục lại những hằng đẳng thức bị mực làm nhoè đi một số chỗ:

a) x² + 6xy + … = (… + 3y)²;

b) … − 10xy + 25y² = ( … – … )² ;

Hãy nêu một đề bài tương tự.

______________________________________________________

Giải:

Ta nhớ lại hằng đẳng thức bình phương của một tổng và bình phương của một hiệu.

a) x² + 6xy + 9y² = ( x + 3y)²;

b) x² − 10xy + 25y² = ( x – 5y)² ;

Đề tương tự:

Hãy điền vào chỗ trống:

a) x² + 12xy + … = (… + 6y)²;

b) x² − 14xy + … = ( … – … )² ;

Bài tập: Luyện tập SGK Toán 8 tập 1

Bài 20. SGK Toán 8 tập 1 (T12)

Nhận xét sự đúng, sai của kết quả sau:

x² + 2xy + 4y² = (x + 2y)².

_________________________________________________________

Giải:

Vì theo hằng đẳng thức bình phương của một tổng

(x + 2y)² = x² + 2.2xy + 4y² = x² + 4xy + 4y² nên kết quả trên đề bài là sai.

Bài 21.

Viết các đa thức sau dưới dạng bình phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) 9x² − 6x + 1 ;

b) (2x + 3y)² + 2. (2x + 3y) + 1

Hãy nêu một đề bài tương tự.

______________________________________________

Giải:

a) 9x² − 6x + 1 = (3x − 1)² ;

b) (2x + 3y)² + 2. (2x + 3y) + 1 = (2x + 3y +1)²

Các em có thể thay số hoặc đơn thức để tạo ra đề bài tương tự.

Bài 22.

Tính nhanh:

a) 101² = (100 + 1)² = 10000 + 200 + 1 = 10201

b) 199² = (200 − 1)² = 40000 − 400 + 1 = 40401

c) 47 . 53 = (50 − 3)(50 + 3) = 50² − 3² = 2500 − 9 = 2491

Bài 23.

Chứng minh rằng:

(a + b)² = (a − b)² + 4ab;

(a − b)² = (a + b)² − 4ab;

Áp dụng:

a) Tính (a − b)², biết a + b = 7 và a.b = 12.

b) Tính (a + b)², biết a − b = 20 và a.b = 3.

________________________________________________

Giải:

(a + b)² = a² + 2ab + b² = a² + (4 − 2)ab + b² = a² + 4ab − 2ab + b² = (a − b)² + 4ab;

(a − b)² = a² − 2ab + b² = a² − (4 − 2)ab + b² = a² – 4ab + 2ab + b² = (a + b)² − 4ab;

Áp dụng: a) (a − b)² = 7² − 4.12 = 1

b) (a + b)² = 20² + 4.3 = 412

Bài 24.

Tính giá trị của biểu thức 49x² − 70x + 25 trong mỗi trường hợp sau:

a) x = 5;

b) x = $\frac{1}{7}$

______________________________________________________________________

Giải:

Trước tiên ta viết lại biểu thức 49x² − 70x + 25 = (7x − 5)² rồi mới thay các giá trị của x vào để tính.

a) Với x = 5, ta có: 49x² − 70x + 25 = (7x − 5)² = (35 − 5)² = 900

b) Với x = $\frac{1}{7}$ , ta có: 49x² − 70x + 25 = (7x − 5)² =(1 − 5)² = 16

Bài 25.

Tính:

a) (a + b + c)² = (a + b)² + 2c(a+ b) + c² = a² + 2ab + b² + 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2(ab + ac + bc)

b) (a + b − c)² = (a + b)² − 2c(a+ b) + c² = a² + 2ab + b² − 2ac − 2bc + c²

= a² + b² + c² + 2(ab − ac − bc)

c) (a − b − c)² = (a − b)² − 2c(a − b) + c² = a² − 2ab + b² − 2ac + 2bc + c²

= a² + b² + c² − 2(ab + ac − bc)

Bài 26.

Tính:

(Ta áp dụng các hằng đẳng thức đáng nhớ để tính)

a) (2x² + 3y)³ = (2x²)³ + 3(2x²)².3y + 3.2x².(3y)² + (3y)³

$=8x^6+36x^4y+54x^2y^2+27y^3$
$b)\: \left ( \frac{1}{2}x-3 \right )^3=\frac{1}{8}x^3-\frac{9}{4}x^2+\frac{27}{2}x-27$

Bài 27.

Viết các biểu thức sau dưới dạng lập phương của một tổng hoặc một hiệu:

a) −x³ + 3x² − 3x + 1 = (1 − x)³

b) 8 − 12x + 6x² − x³ = − x³ + 6x² − 12x + 8 = (2 − x)³

Bài 28.

Tính giá trị của biểu thức:

a) x³ + 12x² + 48x + 64 tại x = 6

Ta áp dụng những hằng đẳng thức đang nhớ để viết lại các biểu thức dưới dạng lập phương của tổng hoặc hiệu.

x³ + 12x² + 48x + 64 = (x + 4)³

Tại x = 6, x³ + 12x² + 48x + 64 = (6 + 4)³ = 10³.

b) x³ − 6x² + 12x − 8 tại x = 22

x³ − 6x² + 12x − 8 = (x − 2)³ = (22 − 2)³ = 20³

Bài 30.

Rút gọn các biểu thức sau:

a) (x + 3)(x² − 3x + 9) − (54 + x³)

Ta áp dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn biểu thức như sau:

(x + 3)(x² − 3x + 9) − (54 + x³) = x³ + 27 − 54 − x³ = −27

b) (2x + y)(4x² − 2xy + y²) − (2x − y)(4x² + 2xy + y²)

Ta áp dụng những hằng đẳng thức đáng nhớ để rút gọn biểu thức như sau:

(2x + y)(4x² − 2xy + y²) − (2x − y)(4x² + 2xy + y²)

= (2x)³ + y³ − [(2x)³ − y³]

= 2y³

Bài tiếp theo: Phân tích đa thức thành nhân tử

Quay lại: Trang Toán 8

Chúc các bạn học tốt!

Ths Toán học

Nguyễn Thùy Dung

About Author

Dung Nguyễn Thùy

Chào các bạn, mình là Thùy Dung - người tạo ra LỚP HỌC TÍCH CỰC này. Là một giáo viên toán, theo mình nghĩ, học phải vui thì mới có hiệu quả. Hi vọng những kiến thức, ý tưởng mình chia sẻ sẽ giúp được bạn trong học tập.